[Vollständige Induktion] 3 + 7 + 11 + ... + (4n - 1) = 2n^2 + n // Wie sieht die linke Seite der Formel aus?

Question

Aufgabe: zeigen, dass A(n) für alle n € N gilt.

\( 3 + 7 + 11 + ... + (4n - 1) = 2n^2 + n \)

Ich frage mich, wie hier die linke Seite aussehen soll...
Ich dachte dachte Summenformel heißt, dass quasi 1 + 2 + 3 + 4 etc... aber hier springt die Formel in 4er-Schritten.

Mein Ansatz wäre daher:

\( \sum_{i=3}^n i + 4 * (4n - 1) = 2n^2 + n \)

Aber irgendwie hab ich das Gefühl, dass ich damit falsch liege...?!

Answer 1

Gegeben ist eine arithmetische Reihe mit der konstanten Differenz 4, dem Anfangsglied 3 und der Anzahl von n Elementen.

Die Summe einer arithmetischenReihe ist [(erstes Glied + letztes Glied)·Anzahl der Glieder]/2, also (3+4n-1)·n/2=(1+2n)·n

Comments

Danke Roland.

Wieso hast Du bei 2n^2 + n  das n ausgeklammert?

Ich möchte im Kopf irgendwie die 3 durch eine Variable ersetzen, weil ich die ja auch hochzähle... 3, 7, 11, ..., n
Mein Gedanke ist ja ganz offenbar falsch.

Angenommen die arithmetische Reihe sähe so aus:

1 + q + q^2 + ... + q^n   =   (1-q^{n+1}) / {1-q}

... wie sähe dann die linke Seite aus? (was passiert hier mit der 1?)

(*weiß nicht was hier sein soll* i^n ) * n/2  = *rechte Seite*

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1 + q + q² + ... + qⁿ ist eine geometrische Reihe und keine arithmetische.

Das n habe ich nicht durch Ausklammern als Faktor geschrieben, sondern als Anzahl der Summanden (siehe meine Berechnungsmethode)..

Answer 2

Ja, Deine Formel ist leider falsch !!!

$$ \sum \limits_{k=0}^{n-1}(3+4k)=2n^{2}+n $$