Eine Matrix diagonalisieren?

Question

In Abhängigkeit von t ∈ ℝ betrachten wir die Matrix A_t ∈ M₄ (ℝ) gegeben durch

A_t = \( \begin{pmatrix} 1 & -t & 2t & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)

a) Für welche t ∈ ℝ ist A_t diagonalisierbar?

b) Geben Sie für diese t ∈ ℝ eine invertiertere Matrix S_t ∈ GL₄ (ℝ) und eine Diagonalmatrix D_t ∈ M₄ (ℝ) an mit S_t^-1 A_tS_t = D_t

Answer 1

A_t = \( \begin{pmatrix} 1 & -t & 2t & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)

A hat - unabhängig von t !  -  das charakeristische Polynom   (λ - 1)^2·(λ - 2)^2

Die Eigenwerte sind also  λ₁ = 1  und  λ₂ = 2  jeweils mit der algebraischen Vielfachheit 2

Korrektur:

Diese müssen bei Diagonalierbarkeit - abhängig von t -  mit der jeweiligen geometrischen Vielfachheit  übereinstimmen.

Für die geometrischen Vielfachheiten musst du die LGS

⎡ 1-λ    -t    2·t      0  ⎤        ⎡ x ⎤         ⎡ 0 ⎤
⎢  2      1    3-λ     1  ⎥   =   ⎢ y ⎥   =    ⎢ 0 ⎥
⎢  1      1     -λ      1  ⎥        ⎢ z ⎥         ⎢ 0 ⎥
⎣  0      0      0    2-λ ⎦        ⎣ w ⎦        ⎣ 0 ⎦

lösen.und die Dimension der Eigenräume bestimmen.

Zweidimensionale Eigenräume für beide Eigenwerte erhalte ich nur für t=0

E₁ =  { r · [1, 0 1, 0] + s · [-1, 1, 0, 0]  | r,s ∈ ℝ }   und  

E₂ =  { r · [0, 2, 1, 0] + s · [0, -1, 0, 1] | r,s ∈ ℝ }

Für die in b) gesuchte Matrix S_t  ergibt sich dann z.B.

          S^-1          •            A           •             S           =           D

⎡ -1  -1   2  -1 ⎤      ⎡ 1  0   0  0 ⎤       ⎡ 1  -1  0   0 ⎤        ⎡ 1  0  0  0 ⎤
⎢ -2  -1   2  -1 ⎥  •   ⎢ 2  3  -2  1 ⎥  •   ⎢ 0   1  2  -1 ⎥   =   ⎢ 0  1  0  0 ⎥
⎢  1   1  -1  1  ⎥      ⎢ 1  1   0   1 ⎥      ⎢ 1   0  1   0 ⎥        ⎢ 0  0  2  0 ⎥
⎣  0   0   0  1  ⎦      ⎣ 0  0   0   2 ⎦      ⎣ 0   0  0   1 ⎦        ⎣ 0  0  0  2 ⎦

Die Diagonalmatrix enthält auf der Hauptdiagonalen die Eigenwerte

Gruß Wolfgang