Wie kann ich die Gleichung eines diskreten Wahrscheinlichkeitsraumes beweisen?

Question

wie kann ich die folgende Gleichung beweisen nur mit Hilfe des Satzes "Für alle A,B ∈ P(Ω) gilt P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)"

Sei (Ω, P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und A,B,C ∈ P(Ω).

P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)

Answer 1

Aloha :)

Wir definieren temporär \(X:=B\cup C\), dann gilt:$$P(A\cup X)=P(A)+P(X)-P(A\cap X)$$Setzen wir \(X\) ein, folgt:

$$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B\cup C)-P(A\cap (B\cup C))$$Darin können wir wie folgt ersetzen:

$$P(B\cup C)=P(B)+P(C)-P(B\cap C)$$$$P(A\cap (B\cup C))=P((A\cap B)\cup (A\cap C))$$$$\phantom{P(A\cap (B\cup C))}=P(A\cap B)+P(A\cap C)-P((A\cap B)\cap(B\cap C)$$$$\phantom{P(A\cap (B\cup C))}=P(A\cap B)+P(A\cap C)-P(A\cap B\cap C)$$

Wir setzen alles zusammen und finden:

$$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)$$$$\phantom{P(A\cup B\cup C)}-P(B\cap C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)+P(A\cap B\cap C)$$