Einem Halbkreis mit dem Radius r ist einzuschreiben: a) das Rechteck mit max. A.

Question

Einem Halbkreis mit dem Radius \( r \) ist einzuschreiben:

a) das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt A.

b) das Rechteck milt maximalem Umfang u.

c) das Dreieck mit maximalem Flächeninhalt A. Anleitung: Höhensatz!

d) das gleichschenkelige Dreieck mit maximalem Flächeninhalt A, dessen Spitze im Mittelpunkt des Halbkreises liegt. Man berechne jeweils den Extremwert der gefragten Größe!

a) max Fläche A (rechteck)
b) max Umfang ( rechteck)
c) max Fläche A (Dreieck)
d) max A

Answer 1

a) A = a* b

(a/2)² =r²-b² (Pythagoras mit dem grünen Dreieck)

Also: a = 2* √(r²-b²)

Folglich: A (b) = 2* √(r²-b²) * b ( muss Maximal sein)

Ableiten:  A' (b) = 2 * (r²- 2b²)/√(r²-b²)

Nullsetzen:  0 = 2 * (r²- 2b²)/√(r²-b²)

                    b = r/√2

a ausrechnen: a = 2* √(r²- (r/√2)²) = 2 * r/√2

A ausrechnen: A = 2 * r/√2 * r/√2 = r²

b) U = 2 (a+b)

  a wie oben

Folglich: U (b) = 2* (2* √(r²-b²)+b)  ( muss Maximal sein)

Ableiten: U' (b) = 2 - 4b/√(r²-b²)

Nullsetzen:  0 = 2 - 4b/√(r²-b²)

                    0 = 2*√(r²-b²) - 4b

                    2b = √(r²-b²)

                    4b²= r²-b²

                      b = r/√5

a ausrechnen: a = 2* √(r²- (r/√5)²) = 4 * r/√5

U ausrechnen: U = 2 * ( 4*r/√5 + r/√5) = 10 * r/√5 = 2 * √5 * r

c) A = 1/2 * 2r * h = r * h

   h = √((2r-x)*x) (Höhensatz)

Folglich: A (x) = r * √((2r-x)*x)   ( muss Maximal sein)

Ableiten: A' (x) =  r * (r-x) / √((2r-x)*x)

Nullsetzen:  0 =  r * (r-x) / √((2r-x)*x)

                    x = r

h ausrechnen: h =  √(2*r - r ) *r = r

A ausrechnen: A = r * r = r²

d) A = 1/2 * x * y (wobei y der Abstand der Strecke CB vom Durchmesser ist)

    y = √(r²-(x/2)²)

Folglich: A (x) =1/2 * x * √(r²-(x/2)²)  = 1/4 * x * √(4r²-x²) ( muss Maximal sein)

Ableiten: A' (x) =  2 * (r² - x²) / (2 * √(4r²-x²))

Nullsetzen:  0 =  2* (2r² - x²) / (2 * √(4r²-x²))

                    x = √2*r

y ausrechnen: y = √(r²-(√2*r/2)²) =   r / √2 = 1/2 * √2 * r

A ausrechnen: A = 1/2 * √2* r * 1/2 * √2* r = 1/2  * r²

Comments

Warum wird bei aufgabe a)

a² + b² = r² zu (a/2)² = r² - b²? (Satz des Pythagoras)