Bestimmen die potenziellen Extremstelle der Funktion

Question

Gegeben sei folgende Funktion:
\( f(x)=\ln \left(\prod \limits_{n=1}^{N} \frac{x^{n}}{n} e^{-x}\right), x \in \mathbb{R}>0 \)
a) Bestimmen Sie die potenziellen Extremstelle(n) der Funktion \( f \) und vereinfachen Sie soweit wie möglich.
Hinweis: Verwenden Sie die Gaußsche Summenformel zur Vereinfachung:
\( \sum \limits_{n=1}^{N} n=\frac{N(N+1)}{2} \)
b) Zeigen Sie für jede gefundene potenzielle Extremstelle, ob es sich um ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt handelt.

Bitte um eine Lösung!

Answer 1

Verwende ln(a*b*c*d*...) =ln a + ln b + ln c + ln d + ...

Comments

kannst du die bitte lösen?

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Du hast also nicht vor, den Term der Form

ln(a*b*c*d*...) in die Form ln a + ln b + ln c + ln d + ...

selbst umzuschreiben?

So etwas wie

ln a = ln (\( \frac{x^1}{1}e^{-x} )\)

ist übrigens wieder der ln eines Produkts und kann wieder als Summe zweier Logarithmen geschrieben werden. Bereits das lässt sich zur Halfte extrem vereinfachen.

Für potentielle Extremstellen müsstest du dann die gesamte Summe ableiten - auch keine Lust?