Stellen Sie eine geeignete Zielfunktion auf

Question

Aufgabe :

Die Funktion f und g mit f(x)= -x²+9 und g(x)= 0,5x² begrenzen eine Fläche, in der ein zur y-Achse symmetrisches Rechteck ABCD liegt.

Die Punkte A und B liegen auf dem Graphen zu f, die Punkte C und D liegen auf dem Graphen von g

b) Das Rechteck soll einen möglichst großen Flächeninhalt haben. Stellen Sie eine geeignete Zielfunktion auf.

Answer 1

Erst mal die Ecken:

A(-x;0,5x^2 ) , B( -x; 9-x^2 ) C( x; 9-x^2 )  D(-x;0,5x^2 ) .

Dann ist die Fläche

A(x) = 2x * ( 9-x^2 - 0,5x^2 )   [ Zielfunktion ]

= 2x * ( 9 -1,5x^2 )  = -3x^3 + 6x

A ' (x) = 18-9x^2 . Das ist 0 für x = ±√2 .

Da aber nur [0 ; √6 ] ein sinnvoller Definitionsbereich ist,

ist x =√2  . Die Stelle für das Maximum.

sieht so aus:

~plot~ 9-x^2;x^2/2;x=sqrt(2);x=-sqrt(2);1;7;[[-5|5|-1|10]] ~plot~

Answer 2

Parabeln
f ( x ) = -x^2 + 9 ( nach unten geöffnet )
g ( x ) = 0,5 * x^2 ( nach oben geöffnet )

d ist die Differenzfunktion
d ( x ) = f ( x ) - g ( x )
d ( x ) = -x^2 + 9 - ( 0.5 * x^2 )
d ( x ) = - 1.5 * x^2 + 9

d ergibt die Höhe des Rechtecks
Im Übrigen braucht nur der 1.Qudrant berechnet werden.
der 2.Quadrant ist das Spiegelbild.

A ( x ) = x * ( -1.5x^2 + 9 )
A ( x ) = -1.5x^3 + 9x
A ´( x ) = -4.5x^2 + 9
-4.5x^2 + 9 = 0
4.5 x^2 = 9
x^2 = 2
x = √ 2
x = 1.4142
d ( √ 2 ) = - 1.5 * (√ 2 ^2 ) + 9
d = 6

A = 1.4142 * 6 * 2

Bitte alles nachrechnen