Bestimme die Zielfunktion und deren Definitionsbereich.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)= (x-3)^2+2

Gesucht ist der Punkt P auf dem Graphen Gf mit minimaler Entfernung vom Ursprung.

Bestimme die Zielfunktion und deren Definitionsbereich.

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand diese Aufgaben erklären bitte?

Und eine Allgemeine Frage;

Was ist der Unterschied mit Maximal und Minimal in Bezug auf die Haupt-und Nebenbedingungen?

Wäre echt hilfreich, wenn mir das jemand ausführlich erklären könnte.

Danke :)

Comments

Schau mal hier:

https://www.schullv.de/mathe/basiswissen/analysis/extremwertaufgaben/abstand_punkte_kurve

Answer 1

Zielfunktion:

\(g(u)= \sqrt{u^2+f(u)^{2}} \)  soll minimal werden. Definitionsbereich: Der Term unter der Wurzel darf nicht < 0 sein.

Nebenbedingung:

\(f(u)=(u-3)^2+2=u^2-6u+11\)

\(g(u)= \sqrt{u^2+(u^2-6u+11)^{2}} \)

\(g´(u)=\frac{2u+2*(u^2-6u+11)*(2u-6)}{2*\sqrt{u^2+(u^2-6u+11)^{2}} }=\frac{u+(u^2-6u+11)*(2u-6)}{\sqrt{u^2+(u^2-6u+11)^{2}} } \)

\(g´(u)=0\)    →  \(f(u)=...\) 

Unterschied Maximal und Minimal:

Stell dir eine Milchtüte vor: Das soll das Volumen maximal sein, während der Materialverbrauch bei der Verpackungsoberfläche minimal werden soll.

Answer 2

Die Punkte auf dem Graphen haben die Koordinaten

( x ;  (x-3)²+2 )   Mit Pythagoras ist der Abstand vom Ursprung

d(x) = \(  \sqrt{ x^2 + ((x-3)^2 + 2)^2 }=  \sqrt{ x^4 -12x^3 +59x^2 -132x+121 } \)

Dieser Wert soll möglichst klein werden, das erreichst du, wenn der Inhalt

der Wurzel möglichst klein wird, also bestimme ein Minimum von

\(  g(x) = x^4 -12x^3 +59x^2 -132x+121  \)

Dazu die Ableitung gleich 0 setzen etc.

Der Definitionsbereich besteht aus allen reellen Zahlen, da g(x) nie negativ ist.