Hallo,
zur Aussage "\(g\circ f\) surjektiv \(\implies g\) surjektiv": Wir müssen zeigen, dass für alle \(z\in Z\) ein \(y\in Y \) existiert mit \(g(y)=z\), siehe Definition einer surjektiven Funktion.
Beweis: Sei \(z\in Z\). Weil \(g\circ f\) surjektiv ist, gibt es \(x\in X\) mit \(g(f(x))=z\).
Sei \(y=f(x)\), dann ist \(y\in Y\) und es gibt \(g(y)=g(f(x))=z\). Also \(g\) ist surjektiv, wahre Aussage.
Nun zur Aussage "\(g\circ f\) surjektiv \(\implies f\) surjektiv". Wir können ein Gegenbeispiel finden:
Gegenbeispiel: Sei \(f:\{1,2\}\to\{1,2,3\}\) mit \(f(x)=x\) und \(g:\{1,2,3\}\to\{1\}\) mit \(g(x)=1\), dann ist \(\displaystyle g\circ f:\{1,2\}\to \{1\}\) mit \(\displaystyle f(g(x))=1\) surjektiv, denn es gilt:
Für alle \(z\in Z\) - nämlich \(z=1\), gibt es zum Beispiel \(x=2\) mit \(g(f(x))=g(f(2))=g(2)=1=z\).
Die Abbildung \(f\) aber nicht: Für \(z=3\) gibt es kein \(x\in\{1,2\}\) mit \(f(x)=x=3\). Widerspruch zur Aussage.
