Injektivität, Surjektivität, Bijektivität - LinA I

Question

In dieser Aufgabe sollen Beispiele konstruiert werden. Dabei ist zu begründen, warum das von Ihnen konstruierte Beispiel alle geforderten Eigenschaften erfüllt. Falls ein gefordertes Beispiel nicht konstruierbar ist, müssen Sie ebenfalls begründen, warum dies der Fall ist.

Geben Sie unendliche große Mengen \( A \) und \( B \) sowie eine Abbildung \( f: A \rightarrow B \) so an, dass
(a) \( f \) injektiv und nicht surjektiv ist.
(b) \( f \) surjektiv und nicht injektiv ist.
(c) \( f \) bijektiv und nicht injektiv ist.
Geben Sie weiter eine Abbildung \( g: B \rightarrow A \) so, dass
(d) \( f \) injektiv, \( g \) surjektiv und \( g \circ f \) bijektiv ist.
(e) \( g \circ f \) injektiv ist, aber \( f \) oder \( g \) nicht injektiv ist.
(f) \( f, g \) und \( g \circ f \) nicht bijektiv aber \( f \circ g \) bijektiv ist.

Wie gehe ich hier nun vor?

Answer 1

Bei (a) kann man zb sowas nehmen: \(f:\ \mathbb{R}_{\geq 0}\rightarrow \mathbb{R},\ x\mapsto 2x+1\).

Injektiv: Für beliebige \(a,b\in \mathbb{R}_{\geq 0}\) mit \(f(a)=f(b)\) ist

\(2a+1=2b+1\quad \Leftrightarrow \quad 2a=2b\quad \Leftrightarrow \quad a=b\),

sodass \(f\) injektiv ist.

Surjektiv: Betrachte folgendes Gegenbeispiel. Für \(y=-1\) ist

\(2x+1=-1=y\quad \Leftrightarrow \quad 2x=-2\quad \Leftrightarrow \quad x=-1\notin \mathbb{R}_{\geq 0}\), sodass \(f\) nicht surjektiv ist,

denn es gibt kein \(x\in \mathbb{R}_{\geq 0}\) mit \(f(x)=-1\).