Beweise folgendes Verhältnis : 1/r = 1/a + 1/b

Question

Aufgabe:

Beweise folgendes Verhältnis : 1/r=1/a+1/b

Problem/Ansatz:

Gegeben ist ein Winkel mit Scheitelpunkt S und den Schenkeln g und h sowie deren Winkelhalbierende w. Nun wird ein Punkt M auf g beliebig gewählt. Der Kreis um M durch S schneidet w neben S auch im Punkt P. Durch P wird eine Gerade gelegt, die g in A und h in B schneidet.

Es sei r=| SM |, a=| SA | und b = | SB |.

Zeige :

\( \frac{1}{r} \)=\( \frac{1}{a} \)+\( \frac{1}{b} \)

Ich komme hier mit bloßen Strahlensätzen nicht weiter, da meiner Meinung nach eine Parallele zu | AB | durch M dafür fehlt.

Wie könnte man hier vorgehen ?

Dankeschön schon mal!

Comments

eine Parallele zu | AB | durch M dafür fehlt.

Dann nimm die Strecke MP und zeige, dass sie parallel zu SB ist.

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Hier wurde eine wichtige Bedingung unterschlagen. Denn Absolutbeträge sind immer größer Null.

Darum :

$$a>r$$

So wie die Aufgabe gestellt wurde, ist die Aussage falsch, denn es gibt viele Gegenbeispiele. (a<r und b>0 führt zum Widerspruch)

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Dieser Widerspruch steht im Widerspruch zur Aufgabenstellung. Mache doch für den Fall b>0 und a<r mal eine Zeichnung.

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Eine Zeichnung ist nicht nötig, es ist doch schon anhand der Zahlen klar , dass B dann nicht auf dem Schenkel h, wohl aber auf der Geraden liegt, auf der h liegt. Aber danke für den Hinweis. Ja, der Zusatz ist nicht nötig.

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Eine Zeichnung ist nicht nötig, es ist doch schon anhand der Zahlen klar ...

Dann sind die Zahlen vielleicht falsch ;-)

Ich habe mal 'ne Zeichnung versucht, mit \(b \gt 0\) und \(a \lt r\).

... leider ist mir die 'Gerade' durch \(P\) dabei verbogen. Könntest Du bitte mal Deine Zahlen nehmen und es aufzeichnen!

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Ich sagte doch bereits, dass B im Falle von a<r nicht auf dem Schenkel liegt. B liegt dann auf der zum Schenkel zugehörigen 2. Halbgerade, auf dem Bild also unterhalb von S. Da b =| SB| >0 für alle S≠B bleibt b>0, doch dieser Fall wurde ja wie nun schon mehrfach erwähnt ausgeschlossen.

Da ich zugegeben habe, dass B dann   nicht auf dem Schenkel liegen kann, sondern auf dem Teil der zum Schenkel gehörenden Geraden, der eben außerhalb des Schenkel liegt, macht es auch keinen Sinn, eine Punkt B auf dem Schenkel einzeichnen zu wollen.

Ich finde deine Lösung übrigens großartig, nur damit du keine Missverständnisse entstehen.

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Da b =| SB| >0 für alle S≠B bleibt b>0

Na ja, da kann man unterschiedlicher Meinung sein! Aber nichts für ungut ... nur Deine Aussage:

Eine Zeichnung ist nicht nötig, es ist doch schon anhand der Zahlen klar

die war einfach zu provozierend ;-) da habe ich mich zu diesem Kommentar oben hinreißen lassen!

Ich finde deine Lösung übrigens großartig, nur damit du keine Missverständnisse entstehen.

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Das b> 0 ist ein Bestandteil der Aufgabe .

"Es sei r=| SM |, a=| SA | und b = | SB |."

Bestandteil der Aufgabe ist aber auch, dass h ein Schenkel ist und keine Gerade. Darum sind ja auch keine weiteren Einschränkungen notwendig, es ergibt sich automatisch a>r, das hatte ich übersehen.

Answer 1

Hallo,

Das Dreieck \(SMP\) ist ein gleichschenkliges. Somit sind alle blau markierten Winkel gleich groß. Wegen \(\angle PSB = \angle SPM\) muss die Gerade durch \(MP\) (lila) parallel zu \(b\) liegen (Wechselwinkel an Parallelen).

Strahlensatz (Zentrum bei \(A\)): $$\frac {|MA|}{|MP|} = \frac {|SA|}{|SB|} \quad \text{bzw.} \quad \frac {a-r}r = \frac ab $$Daraus folgt dann$$\begin{aligned} \frac {a-r}r &= \frac ab \\ \frac ar - 1 &= \frac ab &&|\,\div a \\ \frac 1r - \frac 1a &= \frac 1b &&|\, + \frac 1a \\ \frac 1r &= \frac 1a + \frac 1b \end{aligned}$$

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Ich bedanke mich ganz herzlich!

Answer 2

Irgendwas an deiner Beschreibung stimmt nicht. Wenn du die Gerade durch P so wählst, dass A mit M übereinstimmt, stimmt die Gleichung nicht.

PS: In dem Fall existiert der Schnittpunkt B nicht wegen Parallität der Geraden. In diesem entarteten Fall gilt a=r und somit \( \frac{1}{r} \) =\( \frac{1}{a} \). Wenn wir b als Unendlich ansehen, geht der fehlende Summand \( \frac{1}{b} \) gegen Null.

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Gut, dann fügt er noch A≠M ein, und alles ist in Ordnung. Da wir bei A=M aber kein B finden können, stimmt die Gleichung wieder, wenn wir den Grenzwert betrachten.

Answer 3

$$|SP|=2p$$$$ab*sin (2α)=2(a+b)p*sin(α)$$$$ab*2*sin(α)cos(α)=2(a+b)p*sin(α)$$$$ab=(a+b)p/cos(α)$$$$ab=(a+b)r$$$$1/r=a/ab+b/ab$$$$1/r=1/a+1/b$$

wzzw

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Vielen Dank für die Antwort/Lösung. Ich werde wohl einen etwas „geometrischeren“ Weg benutzen, aber es ist super verschiedene Ansätze zu sehen!

Answer 4

Die Dreiecke BNP und PMA sind ähnlich. Also gilt \( \frac{r}{b-r} \)=\( \frac{a-r}{r} \) und dann:

r²=(b-r)(a-r) Klammern auflösen und auf beiden Seiten r² subtrahieren:

0=ab-ar-br oder ab=ar+br, Dividieren durch abr: \( \frac{1}{r} \)=\( \frac{1}{b} \)+\( \frac{1}{a} \).

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Vielen Dank!