Symmetrische Differenz Alternative Schreibweise beweisen.

Question

Hallo Leute. Ich hab folgendes Problem. Ich muss beweisen das \( A \triangle B=(A \cup B) \backslash(A \cap B) \) gilt.

Folgenden Weg hab ich bekommen:

\(x \in A \triangle B \Leftrightarrow x \in (A \setminus B)  \cup (B \setminus A) \Leftrightarrow (x \in A \wedge x \notin B) \lor (x \in B \wedge x \notin A) \\ \Leftrightarrow x \in (A \cup B) \setminus{(A \cap B)}\)

Das Problem ist ich versteh den letzten Schritt nicht. Welche Regel für die Äquivalenzumformung gilt hier ?

Danke für eure Hilfe !

Answer 1

$$(x \in A \wedge x \notin B) \lor (x \in B \wedge x \notin A) \\ $$

Wende die Distributivität für ∧ und ∨ an. Das ist ausführlich

$$\Leftrightarrow (x \in A \lor x \in B) \wedge (x \in A \lor x \notin A) \wedge (x \notin B \lor x \in B) \wedge (x \notin B \lor x \notin A)$$

$$\Leftrightarrow (x \in A \lor x \in B) \wedge 1 \wedge 1 \wedge (x \notin B \lor x \notin A)$$

De Morgan anwenden:

$$\Leftrightarrow (x \in A \lor x \in B) \wedge \lnot(x \in B \wedge x \in A)$$

<=>  x ∈ A∪B  ∧   x∉ A∩B

<=>  x ∈ (A∪B)  \ ( A∩B )