Zunächst sollte man versuchen, sich klar zu werden, was das Ergebnis sein wird.
Betrachte dazu folgende Skizze:
Im oberen Bild ist das Venn-Diagramm der symmetrische Differenz ( A ♠ B ) zweier Mengen A und B dargestellt.
Für die symmetrischen Differenzen je zweier von drei Mengen gemäß dem Ausdruck
( A ♠ B ) ∩ ( B ♠ C ) ∩ ( C ♠ A )
ergibt sich damit das im unteren Bild dargestellte Venn-Diagramm.
Anzugeben ist die Schnittmenge dieser drei symmetrischen Differenzen. Diese Schnittmenge muss alle drei Farben enthalten. Betrachtet man das untere Bild, so findet man jedoch kein Feld, in welchem alle drei Farben auftreten. Das aber bedeutet, dass die gesuchte Schnittmenge die leere Menge ist!
Es gilt also:
( A ♠ B ) ∩ ( B ♠ C ) ∩ ( C ♠ A ) = ∅
Der mathematische Nachweis ist aufgrund der etwas komplexen Definition der symmetrischen Differenz einigermaßen länglich und unübersichtlich. Ich weiß nicht, ob es etwas bringt, diesen hier vorzuführen.
Genügt vielleicht der Nachweis mit dem Venn-Diagramm?
Übrigens: Der von dir angegebene Ausdruck
( ( A ∩ B ) - C ) ∪ ( ( B ∩ C ) - A ) ∪ ( ( A ∩ C ) - B )
führt zu folgendem Venn-Diagramm:
Die Vereinigungsmenge dieser drei farbig gekennzeichneten Mengen entspricht deinem Ausdruck
( ( A ∩ B ) - C ) ∪ ( ( B ∩ C ) - A ) ∪ ( ( A ∩ C ) - B )
Sie ist jedoch offensichlich nicht leer und kann daher nicht äquivalent zu dem Ausdruck
( A ♠ B ) ∩ ( B ♠ C ) ∩ ( C ♠ A )
sein.
