Zeigen Sie, dass (vn)n∈ℕ eine Basis des K-Vektorraums K[t] ist.

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper. Für jedes n ∈ ℕ setzen wir v_n := (1 + t)ⁿ ∈ K[t].
Zeigen Sie, dass (v_n)_n∈ℕ eine Basis des K-Vektorraums K[t] ist.

Answer 1

Hallo

einfach zeigen, dass die Vektoren (bzw. Polynome linear unabhängig sind, benutze, dass ein Polynom n ten Grades höchstens n Nullstellen hat,  die Linearkombination aber für alle t 0 sein muss.

Gruß lul

Answer 2

Beweise durch vollständige Induktion

Für alle n ∈ℕo ist die Menge { 1 ; (1+t)^1 , (1+t)^2 , ... , (1+t)^n } lin. unabh.

n=0 :  Einziges El. ist 1 . Und aus a*1 = 0-Polynom   folgt a=0 , also

ist 1 lin. unabh.

Gelte die Aussage für ein n . Und sei dann

ao + a₁*(1+t) + a₂*(1+t)^2 + ... + a_n*(1+t)^n + a_n+1*(1+t)^(n+1) = 0-Polynom

Dann folgt für t=-1 jedenfalls  ao=0 .

Also hat man:

a1*(1+t) + a2*(1+t)^2 + ... + an*(1+t)^n + an+1*(1+t)^(n+1) = 0-Polynom

<=> (1+t) * ( a1+ a2*(1+t)^1 + ... + an*(1+t)^(n-1) + an+1*(1+t)^n ) = 0-Polynom

Da der Polynomring nullteilerfrei ist , ist einer der Faktoren

das 0_Polynom. 1+t ist es nicht,

Also a1+ a2*(1+t)^1 + ... + an*(1+t)^(n-1) + an+1*(1+t)^n = 0-Polynom

und nach Ind. annahme also a1=a2=...=an=0 .

==>   1, (1+t), ... , (1+t)^n , (1+t)^(n+1) lin. unabh.

Und weil die Anzahl der Elemente mit der Dim übereinstimmt,

ist es eine Basis.