Umstellen einer Gleichung nach Benutzung der h-Methode

Question

Aufgabe:

Die Aufgabe lautet die Ableitung der Funktion f(x)=1/((x+2)(x-1)) mithilfe der h-Methode zu ermitteln.

Problem/Ansatz:

Nach einsetzten in die Vorschrift erhält man (1/((x₀)+h+2)(x₀)+h-1))-1/((x₀)+2)(x₀)-1)))/h Wie Stelle ich diese Funktion nun sinnvoll um, um an die erste Ableitung zu kommen? Habe schon gefühlt einen halben Collegeblock damit verschwendet :-(

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verschwendet

Das Wort "verwendet" schreibt man ohne "sch".

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Das stimmt. Mein Fehler!

Answer 1

\(\begin{aligned} f'(x) & =\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{\left(x+h+2\right)\left(x+h-1\right)}-\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left(\frac{1}{\left(x+h+2\right)\left(x+h-1\right)}-\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}\right)\\ & =\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left(\frac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}{\left(x+h+2\right)\left(x+h-1\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)}-\frac{\left(x+h+2\right)\left(x+h-1\right)}{\left(x+h+2\right)\left(x+h-1\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)}\right)\\ & =\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\frac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)-\left(x+h+2\right)\left(x+h-1\right)}{\left(x+h+2\right)\left(x+h-1\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\frac{\left(x^{2}+x-2\right)-\left(x^{2}+2hx+x+h^{2}+h-2\right)}{\left(x+h+2\right)\left(x+h-1\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\frac{x^{2}+x-2-x^{2}-2hx-x-h^{2}-h+2}{\left(x+h+2\right)\left(x+h-1\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\frac{-2hx-h^{2}-h}{\left(x+h+2\right)\left(x+h-1\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\frac{h\left(-2x-h-1\right)}{\left(x+h+2\right)\left(x+h-1\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{\left(-2x-h-1\right)}{\left(x+h+2\right)\left(x+h-1\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)}\\ & =\frac{\left(-2x-0-1\right)}{\left(x+0+2\right)\left(x+0-1\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)} \end{aligned}\)

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Danke für die schnelle Hilfe! Fehler auch ganz schnell gefunden. Habe durch die unzähligen Umformungen h nicht mehr gegen 0 laufen lassen und es auch nicht notiert.

Merke Ordnung ist das halbe Leben sch.. in Pott und nicht daneben

Danke

Answer 2

Hallo

schreibe deinen Bruch als A/(x+1)+B/(x+2) bestimme A und B  aus Koeffizientenvergleich (Kontrolle A=-1,B=1)

dann kannst du die Brüche einzeln behandeln, das geht einfach! Differenz auf den Hauptnenner und schon ist es leicht.

1/4 Seite reicht für die Rechnung, und dein Block reicht für schwierigeres!

Gruß lul

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Answer 3

$$\lim\limits_{h\to0} \frac{\frac{1}{(x+h+2)(x+h-1)}+\frac{1}{(x+2)(x-1)}}{h} =$$

$$\lim\limits_{h\to0} \frac{(x+2)(x-1)-((x+2)+h)((x-1)+h)}{h(x+h+2)(x+h-1)(x+2)(x-1)}=$$

$$\lim\limits_{h\to0} \frac{-(2x+1)h-h^2}{h(x+h+2)(x+h-1)(x+2)(x-1)}=$$

$$\lim\limits_{h\to0} \frac{-(2x+1)-h}{(x+h+2)(x+h-1)(x+2)(x-1)}=$$
$$\frac{-(2x+1)}{(x+2)^2*(x-1)^2} $$

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