Quadratzahl im anderen Stellenwertsystem

Question

Wie zeige ich, dass für alle Stellenwertsysteme mit Basis b≥4 die Zahl (12321)_b eine Quadratzahl ist? Ich hoffe ihr könnte mir helfen. Vielen Dank im Voraus.

Liebe Grüße

Lisa

Answer 1

Schreibe die Zahl als b^4 + 2 b^3 + 3 b^2 + 2b + 1 und weise nach, dass das ein Quadrat ist.

Comments

könntest du es einwenig ausführen, verstehe es leider nicht so ganz.

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Versteht du nicht den Ansatz, ober weißt du nicht, wie man ihn zu Ende führt?

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Ich verstehe den Ansatz nicht und weiß leider auch nicht wie ich ihn zu Ende führe.

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Wenn wir im System zur Basis 10 wären, würde 12321 bedeuten:

1*10^4 + 2*10^3 + 3* 10^2 + 2*10 + 1

Im System zu einer beliebigen Basis b ist es dann eben

1*b^4 + 2* b^3 + 3* b^2 + 2*b + 1 .

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Tut mit leid, aber ich komme leider nicht so ganz mit. Wie zeige ich nun, dass die Zahl eine Quadratzahl ist?

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Du musst einen Term finden, der quadriert wir und nach dem Quadrieren die Form

b^4 + 2 b^3 + 3 b^2 + 2b + 1 annimmt.

Offensichtlich muss dieser Term quadratisch sein.

Nimm mal den Term

(b² + t·b + 1) und quadriere ihn.

Was ergibt (b² + t·b + 1) · (b² + t·b + 1)?

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bei mir kommt es zu einer sehr langen Rechnung b⁴ + tb² + b³ ....

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kannst du mir jetzt bitte endlich sagen wie ich drauf komme? Wäre dir echt dankbar.

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sehr langen Rechnung

Es sind 9 Summanden, die sich am Schluss zu nur 5 Vielfachen der verschiedenen Potenzen von b zusammenfassen lassen.

Ausdauer ist nicht deine Stärke....

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und erklären nicht deine...

Answer 2

Rechne 111*111 =12321 schriftlich aus.

Die Zahl 111 kommt in jedem Zahlensystem vor und 12321 existiert ab der Basis 4 in jedem Zahlensystem.

:-)