Schön wäre ja ein "Herleitung". Ich habe es mal so versucht
indem ich das Dreieck in ein Koordinatensystem gelegt habe
und ihm die untere Seite 0A gegeben habe mit A( a/2 ; 0 )
Dann gilt für spitze Winkel α :
Der bei 0 abgehende "Leitstrahl" hat die Geradengleichung y = tan(α)*x
und die gegenüberliegende Dreiecksseite y = -√3 * x + a√3 / 2
Gleichsetzen gibt
$$x=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+2tan(α )}$$
Und die y-Koordinate des Schnittpunktes
(Das ist die Höhe des zu berechnenden Dreiecks.)
$$y=tan(α )*\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+2tan(α )}$$
Also ist die Dreiecksfläche
$$A(α)=\frac{a}{8}*tan(α )*\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}+tan(α )}=\frac{a^2}{8}*\frac{tan(α )*\sqrt{3}}{\sqrt{3}+tan(α )}$$
Und für α≥90° kann man das so ähnlich machen.