Leiten Sie einen Ausdruck für den umschlossene Bereich A (α) in Bezug auf den Winkel ab (siehe Zeichnung).

Question

Aufgabe:

Sie haben ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a angegeben. Eine gerade Linie verbindet die Mitte von der Unterseite bis zum Rand des Dreiecks mit einem Winkel von α.

Leiten Sie einen Ausdruck für den umschlossene Bereich A (α) in Bezug auf den Winkel ab (siehe Zeichnung).

Comments

Am einfachsten machst du es mit einer Fallunterscheidung, etwa so :

A(α) = (a/4)^2·√3 · B(α)
wobei B(α) = sin(α) / sin(60°+α)  für Winkel α von 0° bis 90°
und    B(α) = sin(α) / sin(120°+α) + 4  für Winkel α von 90° bis 180°

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Das wäre die vollständige Lösung?

Answer 1

Schön wäre ja ein "Herleitung". Ich habe es mal so versucht

indem ich das Dreieck in ein Koordinatensystem gelegt habe

und ihm die untere Seite 0A gegeben habe mit A( a/2 ; 0 )

Dann gilt für spitze Winkel α :

Der bei 0 abgehende "Leitstrahl" hat die Geradengleichung y = tan(α)*x

und die gegenüberliegende Dreiecksseite  y = -√3 * x + a√3  / 2

Gleichsetzen gibt

$$x=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+2tan(α )}$$
Und die y-Koordinate des Schnittpunktes
(Das ist die Höhe des zu berechnenden Dreiecks.)
$$y=tan(α )*\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+2tan(α )}$$

Also ist die Dreiecksfläche

$$A(α)=\frac{a}{8}*tan(α )*\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}+tan(α )}=\frac{a^2}{8}*\frac{tan(α )*\sqrt{3}}{\sqrt{3}+tan(α )}$$

Und für α≥90° kann man das so ähnlich machen.

Comments

Wie wurde man es für α ≥90⁰ machen?

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Dann wird der umschlossene Bereich durch die y-Achse in 2

Teile geteilt. Der rechte Teil ist die Hälfte des

ursprünglichen gleichseitigen Dreiecks hat also

die Fläche A= a^2 * √3  /  8

Für das linke Teildreieck  ist die Grundseite die Dreieckshöhe h

und  die Höhe der Betrag des x-Wertes des Schnittpunktes

von Leitstrahl und zugehöriger Dreiecksseite.

Dieser Betrag ist wegen der Symmetrie gleich dem bei 180°-α

also x = a√3 / ( 2√3  + 2tan(180°-α) ) 
        =  a√3 / ( 2√3  - 2tan(α) ).

Also ist dann die gesuchte Fläche

$$A(α)=\frac{a^2*\sqrt{3}}{8}+\frac{a*\sqrt{3}}{2}*\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-2tan(α )}\\ =\frac{a^2*\sqrt{3}}{8}*(\sqrt{3}+\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}-tan(α )})$$

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Lieber @mathef,

ich habe eine letzte frage an dich:

Wie hast du das Dreieck im Koordinatensystem gezeichnet?

Die Erklärung oben ist mir nicht ganz klar geworden, vielleicht wäre eine Zeichnung sinnvoll.

Danke dir.

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Für a=6 und alpha = 135° z.B so:

~draw~ dreieck(-3|0 3|0 0|5.2);vektor(0|0 -5|5 "");zoom(10) ~draw~

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Achso , vielen dank @mathef...