Kombinatorik und bedingte Wahrscheinlichkeit: Mindestens ein weiteres Ass

Question

52 Karten (davon 4 Asse) werden verteilt auf 4 Spieler.

a) Robin sagt, er habe ein Ass. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens ein weiteres Ass hat.

b) Robin sagt, er habe ein Pik-Ass. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens ein weiteres Ass hat.

Zu a):

Meine Idee: $$P=\frac{\begin{pmatrix} 52\\13 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 48\\13 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}48\\12 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 4\\1 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 52\\13 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 48\\13 \end{pmatrix}}=\frac{5359}{14498}\approx 0.3696$$ Bei der b) komme ich auf 0.561152, auch mit kombinatorischem Ansatz. Ich wollte das mal gegenprüfen. Wie würdet ihr an die Aufgabe gehen?

Answer 1

Sei X die Anzahl der Asse, dann ist

a)

P(X >= 1) = 14498/20825

P(X >= 2) = 5359/20825

P(X >= 2 | P(X >= 1)) = (5359/20825)/(14498/20825) = 5359/14498 = 0.3696

b)

11686/20825 = 0.5612

Sieht also sehr gut aus.

Comments

Weißt du, was bei der b) gemeint ist? Das ist ja eine restriktivere Aussage. In (a) sagt Robin, er habe ein Ass (dies könnte auch ein Pik-Ass sein). In (b) sagt er nun konkret, dass er ein Pik-Ass habe. Inwiefern verändert sich hier die Wahrscheinlichkeit?$$P=\frac{\begin{pmatrix} 51\\12 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 48\\12 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 51\\12\end{pmatrix}}=\frac{11686}{20825}\approx 0.561152$$ Das ist aber vom Ergebnis nicht so sinnig, oder doch?

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Doch. Das habe ich auch bei b)

Ich habe auch nochmal anders gerechnet

∑ (x = 1 bis 3) (COMB(1, 1)·COMB(3, x)·COMB(48, 12 - x) / (COMB(1, 1)·COMB(51, 12))) = ...

Answer 2

52 Karten (davon 4 Asse) werden verteilt auf 4 Spieler.
a) Robin sagt, er habe ein Ass. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens ein weiteres Ass hat.

1 Ass weg

51 Karten und 3 Asse sind noch vorhanden

Wahrscheinlichkeit 11 mal kein weiteres Ass
48/51 * 47/50 * 46/49 * 45/48 * 44/47 * 43/46 * 42/45
* 41/44 * 40/43 * 39/42 * 38/41

0.4744

Gegenwahrscheinlichkeit für min 1 Ass
52.56 %

Na, hoffentlich stimmt das.

Comments

Warum 11 weitere Male kein Ass? Insgesamt hat jeder Spieler 52/4=13 Karten. Gesetzt Robin hat ein Ass, gäbe es noch 12 weitere Karten, die er ziehen muss.

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Wahrscheinlichkeit 12 mal kein weiteres Ass
48/51 * 47/50 * 46/49 * 45/48 * 44/47 *
43/46 * 42/45* 41/44 * 40/43 * 39/42 * 38/41

0.5926

Gegenwahrscheinlichkeit für 1, 2 oder 3 weitere Asse
40.74 %

Stimmt aber nicht mit euren Wahrschein-
lichkeiten überein.