Question

Vollständige Induktion mit Produkt:

sei α_k≠0 für k∈ℕ Dann gilt \( \prod_{k=1}^{n}{} \)  α_k+1/α_k= α_n+1/α₁

(Leider hat bei mir die Darstellung des Bruches mit Alpha nicht funktioniert, deswegen die herkömmliche Schreibweise)

Nach langem herumprobieren, komme ich auf kein Muster welches zum gewünschten Ergebnis führt.

Bin Für jede Hilfe dankbar LG

Comments

Gibt es noch eine Aussage zu \(a_k\)? Für ein allgemeines \(a_k\gt0\) gilt das sicher nicht.

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Du musst \(\frac{\alpha}{\alpha}\) \(\dfrac{\alpha}{\alpha}\) schreiben anstatt das Zeichen zu verwenden, sonst geht es nicht.

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@Werner-salomon Nein lediglich sei αk≠0 für k∈ℕ

@Doesbaddel

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lediglich sei αk≠0 für k∈ℕ

OK - dann nehme man mal \(a_k = k\) und \(n=3\), also \(a_{1,2,3} = \{1,2,3\}\), und schon ist $$\prod_{k=1}^n k + \frac 1k = \frac {50}3 \ne 3 + \frac 11 = 4$$das passt nicht!

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@Felix: Es lässt sich mit diesen Angaben nicht einmal ein einfacher Induktionsanfang mit zwei Faktoren und a₁=2 sowie a₂=3 herstellen.

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@Felix: kann es sein, dass Du nicht weißt, dass Punktrechnung (also geteilt) vor Strichrechnung (also plus) kommt??

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ich glaube nicht das das ganze α_k durch eine zahl ersetzt werden darf, sondern die Zahlen nur für das k eingesetzt werden dürfen und somit nur mit den Platzhaltern gerechnet wird.

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ich glaube nicht das das ganze αk durch eine zahl ersetzt werden darf, sondern die Zahlen nur für das k eingesetzt werden dürfen und somit nur mit den Platzhaltern gerechnet wird.

So macht es aber keinen Sinn. Wenn da drei Elemente \(a_1\), \(a_2\) und \(a_3\) sind (\(n=3\)), dann verschwindet das \(a_2\) auf der linken Seite nie. Auf der rechten Seite aber sehr wohl.

Solange man keine Aussage machen kann, wie die drei zusammen hängen, solange ist das immer ungleich!

Und wenn es nicht mit Zahlen geht, mit was soll es dann sonst gehen?

Heißt es $$\prod_{k=1}^n a_k + \frac 1{a_k} = a_n + \frac 1{a_1}$$oder heißt es $$\prod_{k=1}^n \frac {a_k + 1}{a_k} = \frac {a_n + 1}{a_1}$$??

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Oder $$\prod_{k=1}^n \frac{\alpha_{k + 1}}{\alpha_k} = \frac {\alpha_{n + 1}}{\alpha_1}$$

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Ihr solltet nicht so viel hineingeheimnissen sondern einfach erkennen, dass es sich um ein Teleskopprodukt handelt.

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WENN

1.) die zweite Variante aus meinem letzten Kommentar die richtige ist

und WENN

2.) immer \(a_{k+1} = a_{k} + 1\) gilt,

DANN ist es gleich und auch einfach zu zeigen.

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Ja genau die Zweite Version ist die Aufgaben Stellung Sorry wegen der Verwirrung.

Wie genau würdest du dann vorgehen?

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@hj2166 Ja, genau. Das meinte ich

Answer 1

Hallo Felix,

Gezeigt werden soll, dass $$\prod_{k=1}^n \frac {a_k + 1}{a_k} = \frac {a_n + 1}{a_1}, \quad \text{mit } a_{k+1} = a_k + 1$$Für \(n=1\) ist das trivial zu zeigen. Nun noch der Schritt von \(n\) nach \(n+1\): $$\begin{aligned} \prod_{k=1}^{n+1} \frac {a_k + 1}{a_k} &= \left( \prod_{k=1}^n \frac {a_k + 1}{a_k} \right) \cdot \frac{a_{n+1} + 1}{a_{n+1}} \\ &=  \frac {a_n + 1}{a_1} \cdot \frac{a_{n+1} + 1}{a_{n+1}} &&\left|\, a_{n+1} = a_n + 1\right. \\ &= \frac {a_{n+1}}{a_1} \cdot \frac{a_{n+1} + 1}{a_{n+1}} \\ &= \frac{a_{n+1} + 1}{a_1} \\ &\text{q.e.d.} \end{aligned} $$