Zeigen Sie mittels Rechnung, dass die Geradenschar Ga mit den Graphen der Funktionenschar von Fa zwei gleich große …

Question

Gegeben sind zwei Funktionsscharen

Fa(x)= x^3-9ax^2+26a^2x-24a^3

Ga(x)= 8a^2x-24a^3

Zeigen Sie mittels Rechnung, dass die Geradenschar Ga mit den Graphen der Funktionenschar von Fa zwei gleich große Flächenstücke einschließt.

Ich weiß nicht was ich machen soll???

Answer 1

Es gibt für a>0 immer drei Schnittpunkte der Graphen bei

0 und bei 3a und bei 6a.

Und das Integrale von 0 bis 3a über F_a(x) - G_a(x)  ist 81/4 * a^4

und das von 3a bis 6a ist -81/4 *a^4.

Da beide den gleichen Betrag haben, sind die

zugehörigen Flächenstücke gleich.

Comments

Das verstehe ich nicht ganz könntest du es bitte genauer erklären. Also so einfach wie möglich?

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Wenn zwei Funktionsgraphen ein Flächenstück einschließen,

dann kann man dessen Größe berechnen indem man

zwei benachbarte Schnittpunkte der Graphan betrachtet,

hier etwa der bei x=0 und der bei x=3a und dann

von 0 bis 3a über die Differenz der Funktionsterme integriert.

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Warum von x=0 und x=3a?

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Für die x-Werte der Schnittpunkte löse die Gleichung

Fa(x) = Ga(x)

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Was muss ich jetzt machen?

Ist es bis jetzt richtig?

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Du brauchst nicht durch 8 zu teilen. Rechne auf beiden Seiten \(-8ax^2\) und du erhältst \(x^3-9ax^2+18a^2x=0\). Klammere dann x aus...

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Text erkannt:

NI 3 .

Was muss ich jetzt machen?

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Nein, rechne mit dem a weiter:

\(x_{2/3}=\frac{9}{2}a\pm\sqrt{\frac{81}{4}a^2-18a^2}\\ =\frac{9}{2}a\pm\sqrt{\frac{9}{4}a^2}\\ =\frac{9}{2}a\pm \frac{3}{2}a\)

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Dankkeeee hatte gerade ne paar Fehler!!!

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Ich habe jetzt die 3 Ergebnisse und was muss ich jetzt machen?

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Du berechnest jetzt den Inhalt der beiden Integralflächen.

1. \(\int \limits_{0}^{3a}x^3-9ax^2+18a^2x \quad dx\)

Hinter dem Integralzeichen folgt die Differenzfunktion f(x) - g(x), die wir ja schon bei der Berechnung der Nullstellen hatten.

2. Anschließend das Integral von 3a bis 6a.

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Muss ich nicht die Ausgangsfunktion nehmen ?

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Nein, denn so lautet die Aufgabenstellung

Zeigen Sie mittels Rechnung, dass die Geradenschar Ga mit den Graphen der Funktionenschar von Fa zwei gleich große Flächenstücke einschließt.

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Also dann so? Oder ist das falsch?

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so ist es richtig

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Muss ich jetzt für x =3a einsetzen?

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Ja, genau. Das Einsetzen der null kannst du dir sparen, weil das Ergebnis auch null ist.

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Text erkannt:

\( \int \limits_{0}^{34}\left(x^{3}-9 a x^{2}+18 a^{2} x\right) d a=\left[\frac{1}{4} x^{4}-3 a x^{3}+9 a^{2} x^{2}\right]_{0}^{3 a} \)
\( =\left(\frac{1}{4} \cdot 3 a^{4}-3 a \cdot 3 a^{3}+9 a^{2} \cdot 3 a^{2}\right. \)
\( =\frac{3}{4} a^{4}-9 a^{4}+27 a^{4} \)
\( =\frac{75}{4} \)
\( \left.x^{4}-80 x^{3}+9 a^{2} x^{2}\right]_{3}^{6} \)

So ist es richtig oder? Was muss ich jetzt machen?

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Darf ich eigentlich so viel Fragen wie ich will hier reinstellen oder kostet irgendwann was? Und darf ich überhaupt meine Notizen hier rein fügen?

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Du kannst so lange Fragen stellen, bis du alles verstanden hast. Von der 1. bis zur letzten Frage ist alles kostenlos. Ja, deine Notizen kannst du einstellen.

Du hast irgendwo einen Fehler gemacht. Erst einmal verschwindet a4 nicht und zweitens ist das Ergebnis \(\pm \frac{81}{4}a^4 \), s. Antwort von mathef. Ich schaue es mir an.

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Danke. Ich schaue auch nochmal drüber.

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$$\frac{1}{4}\cdot (3a)^4-3a\cdot(3a)^3+9a^2(3a)^2\\ =\frac{1}{4}\cdot 81a^4-3a\cdot27a^3+9a^2\cdot 9a^2$$

Siehst du deinen Fehler?

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Ja habe es bemerkt. danke

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Text erkannt:

\( =0 \)
\( f a(t)=g_{a}(x) \)
\( =\frac{81}{4}-0 \)
\( =\frac{81}{4} \)
\( =20,25 \)

Was muss ich jetzt machen ?

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Lass die \(a^4\) nicht immer verschwinden!

$$\int \limits_{0}^{3a}=\frac{81}{4}a^4\\\int \limits_{3a}^{6a}=0-\frac{81}{4}a^4=-\frac{81}{4}a^4$$

Da beide Flächen den gleichen Betrag haben, sind die Flächenstücke gleich groß. Das galt es zu zeigen, also bist du fertig.

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Text erkannt:

\( f a(x)=g_{a}(x) \)
\( \quad \frac{81}{4} u^{4}-0 \)
\( =\frac{81}{4} a^{4} \)
\( =20,25 a^{4} \)
\( [0 ; 3]=20,25 a^{4} F E \)
\( [3 ; 6]=-20,25 a^{4} F E \)

Habe es jetzt

Danke an euch!