Hallo, weiß jemand, wie ich diese Aufgabe löse, ich komme hier einfach nicht weiter…
Ich danke euch vielmals, falls einer einen Tipp hat!
Eine Möbius-Transformation \( f \) ist gegeben durch
\( f(z)=\frac{a z+b}{c z+d}, \quad \text { mit } \quad a, b, c, d \in \mathbb{C}, \quad \text { und } a d-b c \neq 0 \)
Es sei \( \mathbb{C}_{\infty} \) die erweiterte komplexe Zahlenebene, \( \mathbb{C}_{\infty}:=\mathbb{C} \cup\{\infty\} . \) Zeigen Sie folgende Aussagen:
(a) \( f: \mathbb{C}_{\infty} \rightarrow \mathbb{C}_{\infty} \) ist bijektiv.
(b) Die Menge der Kreisen und Geraden wird in sich selbst abgebildet.
(c) Möbius-Transformationen bilden eine Gruppe mit Hintereinanderausführung als Verknüpfung. (Hinweis: Benutzen Sie, dass die komplexen invertierbaren \( 2 \times 2 \) -Matrizen eine Gruppe bilden.)
