Term vereinfachen mit Fakultät im Nenner

Question

Kann mir jemand helfen, wie ich die linke Seite vereinfachen kann, damit mal schneller erkennen kann, dass die Aussage wahr oder falsch ist?

$$\frac{k}{k!^{\frac{1}{k}}}\geq 1$$

Answer 1

Schreibe den Zähler als

$$(k^k)^\frac{1}{k}$$.

Dann wird der Bruch zu

$$(\frac{k^k}{k!})^\frac{1}{k}$$.

Comments

Also $$\frac{(k^{k})^{\frac{1}{k}}}{k!^{\frac{1}{k}}}$$

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Darf ich noch fragen, wie man dann beschreiben kann, dass diese Zahl größer 1 ist?

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Im Zähler stehen k Faktoren, im Nenner auch.

Die Faktoren im Zähler sind ALLE k.

Im Nenner ist nur ein Faktor k, alle anderen sind kleiner.

Answer 2

$$1=1$$$$1*2<2*2$$$$1*2*3<3*3*3$$

$$k!≤k^k$$$$\sqrt[k]{k!}≤ k$$$$1≤ \frac{k}{ \sqrt[k]{k!}}$$

Comments

Vielen Dank!

Answer 3

Aloha :)

$$k!=\underbrace{1\cdot2\cdot3\cdots k}_{\text{k Faktoren}}\le\underbrace{k\cdot k\cdot k\cdots k}_{\text{k Faktoren}}=k^k\;\Rightarrow\;\frac{k^k}{k!}\ge1\;\Rightarrow\;\sqrt[k]{\frac{k^k}{k!}}\ge\sqrt[k]{1}\;\Rightarrow\;\frac{k}{\sqrt[k]{k!}}\ge1$$

Comments

Kannst du mir vielleicht auch noch sagen, wie man es in Worten begründen kann, dass es wahr ist?

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Jeder der Faktoren auf der linken Seite ist kleiner oder gleich einem Faktor auf der rechten Seite:$$1\le k\;;\;2\le k\;;\;3\le k\;;\;\cdots\;;\;k\le k$$Daher muss das Produkt aus allen linken Zahlen auch kleiner gleich dem Produkt aus den rechten Zahlen sein:$$1\cdot2\cdot3\cdots k\le k\cdot k\cdot k\cdots k$$

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Vielleicht vertausche ich jetzt etwas, aber auf der rechten Seite, haben wir doch nur die 1?

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Ah, ich weiß glaub ich, was du meinst. Wenn du die Ungleichung von oben verstanden hast:$$1\cdot2\cdot3\cdots k\le k\cdot k\cdot k\cdots k$$Kannst du doch beide Seiten der Ungleichung durch \((1\cdot 2\cdot 3\cdots k)\) divdieren:$$\frac{1\cdot2\cdot3\cdots k}{1\cdot2\cdot3\cdots k}\le\frac{k\cdot k\cdot k\cdots k}{1\cdot2\cdot3\cdots k}$$Links kürzen sich alle Faktoren aus dem Nenner und Zähler gegenseitig raus, sodass dort eine \(1\) übrig bleibt:$$1\le\frac{k\cdot k\cdot k\cdots k}{1\cdot2\cdot3\cdots k}=\frac{k^k}{k!}$$Jetzt musst du nur noch auf beiden Seiten die \(k\)-te Wurzel ziehen und bist fertig.

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Ja den Weg zum Ergebnis habe ich verstanden.

Jetzt steht ja da:

$$\frac{k}{\sqrt[k]{k!}} \geq 1$$

Und jetzt brauch ich Hilfe, wie ich dieses Ergebnis mit Worten begründen kann. :( ... also dass diese Gleichung stimmt.