Kann mir jemand helfen, wie ich die linke Seite vereinfachen kann, damit mal schneller erkennen kann, dass die Aussage wahr oder falsch ist?
kk!1k≥1\frac{k}{k!^{\frac{1}{k}}}\geq 1k!k1k≥1
Schreibe den Zähler als
(kk)1k(k^k)^\frac{1}{k}(kk)k1.
Dann wird der Bruch zu
(kkk!)1k(\frac{k^k}{k!})^\frac{1}{k}(k!kk)k1.
Also (kk)1kk!1k\frac{(k^{k})^{\frac{1}{k}}}{k!^{\frac{1}{k}}}k!k1(kk)k1
Darf ich noch fragen, wie man dann beschreiben kann, dass diese Zahl größer 1 ist?
Im Zähler stehen k Faktoren, im Nenner auch.
Die Faktoren im Zähler sind ALLE k.
Im Nenner ist nur ein Faktor k, alle anderen sind kleiner.
1=11=11=11∗2<2∗21*2<2*21∗2<2∗21∗2∗3<3∗3∗31*2*3<3*3*31∗2∗3<3∗3∗3
k!≤kkk!≤k^kk!≤kkk!k≤k\sqrt[k]{k!}≤ kkk!≤k1≤kk!k1≤ \frac{k}{ \sqrt[k]{k!}}1≤kk!k
Vielen Dank!
Aloha :)
k!=1⋅2⋅3⋯k⏟k Faktoren≤k⋅k⋅k⋯k⏟k Faktoren=kk ⇒ kkk!≥1 ⇒ kkk!k≥1k ⇒ kk!k≥1k!=\underbrace{1\cdot2\cdot3\cdots k}_{\text{k Faktoren}}\le\underbrace{k\cdot k\cdot k\cdots k}_{\text{k Faktoren}}=k^k\;\Rightarrow\;\frac{k^k}{k!}\ge1\;\Rightarrow\;\sqrt[k]{\frac{k^k}{k!}}\ge\sqrt[k]{1}\;\Rightarrow\;\frac{k}{\sqrt[k]{k!}}\ge1k!=k Faktoren1⋅2⋅3⋯k≤k Faktorenk⋅k⋅k⋯k=kk⇒k!kk≥1⇒kk!kk≥k1⇒kk!k≥1
Kannst du mir vielleicht auch noch sagen, wie man es in Worten begründen kann, dass es wahr ist?
Jeder der Faktoren auf der linken Seite ist kleiner oder gleich einem Faktor auf der rechten Seite:1≤k ; 2≤k ; 3≤k ; ⋯ ; k≤k1\le k\;;\;2\le k\;;\;3\le k\;;\;\cdots\;;\;k\le k1≤k;2≤k;3≤k;⋯;k≤kDaher muss das Produkt aus allen linken Zahlen auch kleiner gleich dem Produkt aus den rechten Zahlen sein:1⋅2⋅3⋯k≤k⋅k⋅k⋯k1\cdot2\cdot3\cdots k\le k\cdot k\cdot k\cdots k1⋅2⋅3⋯k≤k⋅k⋅k⋯k
Vielleicht vertausche ich jetzt etwas, aber auf der rechten Seite, haben wir doch nur die 1?
Ah, ich weiß glaub ich, was du meinst. Wenn du die Ungleichung von oben verstanden hast:1⋅2⋅3⋯k≤k⋅k⋅k⋯k1\cdot2\cdot3\cdots k\le k\cdot k\cdot k\cdots k1⋅2⋅3⋯k≤k⋅k⋅k⋯kKannst du doch beide Seiten der Ungleichung durch (1⋅2⋅3⋯k)(1\cdot 2\cdot 3\cdots k)(1⋅2⋅3⋯k) divdieren:1⋅2⋅3⋯k1⋅2⋅3⋯k≤k⋅k⋅k⋯k1⋅2⋅3⋯k\frac{1\cdot2\cdot3\cdots k}{1\cdot2\cdot3\cdots k}\le\frac{k\cdot k\cdot k\cdots k}{1\cdot2\cdot3\cdots k}1⋅2⋅3⋯k1⋅2⋅3⋯k≤1⋅2⋅3⋯kk⋅k⋅k⋯kLinks kürzen sich alle Faktoren aus dem Nenner und Zähler gegenseitig raus, sodass dort eine 111 übrig bleibt:1≤k⋅k⋅k⋯k1⋅2⋅3⋯k=kkk!1\le\frac{k\cdot k\cdot k\cdots k}{1\cdot2\cdot3\cdots k}=\frac{k^k}{k!}1≤1⋅2⋅3⋯kk⋅k⋅k⋯k=k!kkJetzt musst du nur noch auf beiden Seiten die kkk-te Wurzel ziehen und bist fertig.
Ja den Weg zum Ergebnis habe ich verstanden.
Jetzt steht ja da:
kk!k≥1\frac{k}{\sqrt[k]{k!}} \geq 1kk!k≥1
Und jetzt brauch ich Hilfe, wie ich dieses Ergebnis mit Worten begründen kann. :( ... also dass diese Gleichung stimmt.
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