term vereinfachen mit Binominalkoef. Fakultät und sin bzw. cos

Question

Aufgabe:

Seien $n \in \mathbb{N}, n \geqq 2$ und $x, y \in \mathbb{R}, x \neq 0, y \neq x$. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke.

$\frac{\left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n \\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n \\ n-1\end{array}\right)}{\sqrt{(n-1)^{2}-n^{\sin (2 n \pi)}+2 n}}-2 \cos \left(0 !+\left(\begin{array}{c}16 \\ 3\end{array}\right) \pi-1\right)$

Problem/Ansatz:

ich weiß, dass

( $\frac{n}{1}$ ) = n

0!=1

( $\frac{16}{5}$ )= 560 (mit Rechnerhilfe)

( $\frac{n}{n-1}$ ) =$\frac{n!}{(n-1)!*1!}$ = $\frac{n!}{(n-1)!}$

(n-1)² = n² -2n+1

somit wird vom Bruch abgezogen : -2cos(560π)

leider komme ich trotzdem nicht weiter voran

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom{=}\frac{\binom{n}{1}-\binom{n}{2}+\binom{n}{n-1}}{\sqrt{(n-1)^2-n^{\sin(2n\pi)}+2n}}-2\cos\left(0!+\binom{16}{3}\pi-1\right)$$

Für $\binom{n}{n-1}$ können wir auch $\binom{n}{n-(n-1)}$ bzw. $\binom{n}{1}$ schreiben.

Die Sinusfunktion liefert für ganzzahlige Vielfache von $\pi$ stets $0$, d.h. $\sin(2n\pi)=0$.

In der Cosinus-Klammer setzen wir $0!=1$ ein.

$$\phantom{=}\frac{\binom{n}{1}-\binom{n}{2}+\binom{n}{1}}{\sqrt{(n-1)^2-n^0+2n}}-2\cos\left(1+\binom{16}{3}\pi-1\right)$$$$=\frac{2\binom{n}{1}-\binom{n}{2}}{\sqrt{(n-1)^2-n^0+2n}}-2\cos\left(\binom{16}{3}\pi\right)$$$$=\frac{2n-\frac{n(n-1)}{2}}{\sqrt{(n^2-2n+1)-1+2n}}-2\cos\left(560\pi\right)=\frac{2n-\frac{n(n-1)}{2}}{\sqrt{n^2}}-2\cdot1$$$$=\frac{2n-\frac{n(n-1)}{2}}{n}-2=\frac{2n}{n}-\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{n}-2=2-\frac{n-1}{2}-2=-\frac{n-1}{2}$$

Answer 2

-2cos(560π) = -2

und   " n über 2 " =    n*(n-1) / 2

und    " n über (n-1)  " =    n Denn   $\frac{n!}{(n-1)!} = n$