term vereinfachen mit Binominalkoef. Fakultät und sin bzw. cos

Question

Aufgabe:

Seien \( n \in \mathbb{N}, n \geqq 2 \) und \( x, y \in \mathbb{R}, x \neq 0, y \neq x \). Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke.

\( \frac{\left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n \\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n \\ n-1\end{array}\right)}{\sqrt{(n-1)^{2}-n^{\sin (2 n \pi)}+2 n}}-2 \cos \left(0 !+\left(\begin{array}{c}16 \\ 3\end{array}\right) \pi-1\right) \)

Problem/Ansatz:

ich weiß, dass

( \( \frac{n}{1} \) ) = n

0!=1

( \( \frac{16}{5} \) )= 560 (mit Rechnerhilfe)

( \( \frac{n}{n-1} \) ) =\( \frac{n!}{(n-1)!*1!} \) = \( \frac{n!}{(n-1)!} \)

(n-1)^2 = n^2 -2n+1

somit wird vom Bruch abgezogen : -2cos(560π)

leider komme ich trotzdem nicht weiter voran

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom{=}\frac{\binom{n}{1}-\binom{n}{2}+\binom{n}{n-1}}{\sqrt{(n-1)^2-n^{\sin(2n\pi)}+2n}}-2\cos\left(0!+\binom{16}{3}\pi-1\right)$$

Für \(\binom{n}{n-1}\) können wir auch \(\binom{n}{n-(n-1)}\) bzw. \(\binom{n}{1}\) schreiben.

Die Sinusfunktion liefert für ganzzahlige Vielfache von \(\pi\) stets \(0\), d.h. \(\sin(2n\pi)=0\).

In der Cosinus-Klammer setzen wir \(0!=1\) ein.

$$\phantom{=}\frac{\binom{n}{1}-\binom{n}{2}+\binom{n}{1}}{\sqrt{(n-1)^2-n^0+2n}}-2\cos\left(1+\binom{16}{3}\pi-1\right)$$$$=\frac{2\binom{n}{1}-\binom{n}{2}}{\sqrt{(n-1)^2-n^0+2n}}-2\cos\left(\binom{16}{3}\pi\right)$$$$=\frac{2n-\frac{n(n-1)}{2}}{\sqrt{(n^2-2n+1)-1+2n}}-2\cos\left(560\pi\right)=\frac{2n-\frac{n(n-1)}{2}}{\sqrt{n^2}}-2\cdot1$$$$=\frac{2n-\frac{n(n-1)}{2}}{n}-2=\frac{2n}{n}-\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{n}-2=2-\frac{n-1}{2}-2=-\frac{n-1}{2}$$

Answer 2

-2cos(560π) = -2

und   " n über 2 " =    n*(n-1) / 2

und    " n über (n-1)  " =    n Denn   \( \frac{n!}{(n-1)!} = n \)