Zeige, dass 1+z+...+z^(n-1) =0

Question

Für $$n\geq 2$$sei$$z=cos(2\pi/n) + i(sin2\pi/n)$$

Zeige, dass $$1+z+...+z^(n-1) =0$$

Ich habe bisher nur $$\sum \limits_{i=0}^{n-1}z^i = \frac{z^n-1}{z-1}$$

Comments

Ist i die imaginäre Einheit oder nur der Laufindex oder beides?

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Ohh.... Stimmt das ist etwas ungünstig gewählt. Ich meinte bei der Summe natürlich nur den Laufindex. Bei der Voraussetzung ist i die imaginäre Einheit.

Answer 1

$$z=cos(2\pi/n) + i(sin2\pi/n)$$

$$z^n=cos(2\pi) + i(sin2\pi)=1$$

Damit

$$\sum \limits_{i=0}^{n-1}z^i = \frac{z^n-1}{z-1}=0$$

Comments

Der Fall n=1 muss separat betrachtet werden.

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Es ist n>=2 gemäß Voraussetzung.