z^3 = -1+i Finde alle Lösungen

Question

Kann mir bei dieser Aufgabe kurz jemand helfen?

z^3 = -1 +i in den komplexen Zahlen

Answer 1

-1+i hat den Betrag \( \sqrt{2} \) und das Argument 3π/4.

Da beim Potenzieren die Beträge potenziert werden und die Argumente vervielfacht werden muss also die dritte Potenz des Betrags von z das Ergebnis \( \sqrt{2} \) haben, und das Dreifach des Arguments von z muss 3π/4 (oder 2π +  3π/4
oder 4π +  3π/4) sein.

Comments

Bevor du dich von der Vorliebe der großen Mietzekatze für schlechte Näherungswerte anstecken lässt:

Die genauen Werte sind

\( \sqrt[6]{2}(cos(\frac{\pi}{4} +i\cdot sin(\frac{\pi}{4}))\)

\( \sqrt[6]{2}(cos(\frac{11\pi}{12} +i\cdot sin(\frac{11\pi}{12}))\)

\( \sqrt[6]{2}(cos(\frac{19\pi}{12} +i\cdot sin(\frac{19\pi}{12}))\)

Answer 2

Hallo,

Es gibt hierzu eine allgemeine Formel:

z_k= |z| ^(1/n) e ^(i( φ +2kπ))/n , (k=0,1,2)

|z|=√2

φ= (3 π)/4

n=3

setze die Werte in die Formel ein, Du bekommst als Lösung:

----->

z₀=\( \sqrt[6]{2} \)* (cos(\( \frac{π}{4} \)) +i sin(\( \frac{π}{4} \)))

usw.

\( z \approx 0.79370+0.79370 i \)

\( z \approx 0.29051-1.08422 i \)
\( z \approx-1.08422+0.29051 i \)

Comments

vielen Dank für die Antwort und die Erklärung auf einen anderen Weg. :)