Finde alle zugehörigen Lösungen: Z^3=8i

Question

Aufgabe:

z^3=8i

Finde alle zugehörigen Lösungen.

Problem/Ansatz:

Habe ich die aufgabe richtig gelöst?

r=\( \sqrt{0^2+8^2} \)=8

8i=90°

Z^3=8^\( \frac{1}{3} \) *e^i(\( \frac{pi}{2} \)+k*2pi)*\( \frac{1}{3} \)

Andere Form:

8*cos(\( \frac{φ+k*2pi}{3} \))+i*sin(\( \frac{φ+k*2pi}{3} \))

φ1=30°=\( \frac{pi}{6} \)

φ2=150°=\( \frac{5pi}{6} \)

φ3=270°=\( \frac{3pi}{2} \)

K=(0;1;2;)

Answer 1

Hallo,

...............................

Answer 2

Hallo,

8i=90°

vermutlich meinst du das richtige, allerdings ist die Schreibweise falsch. Ich würde es so schreiben:

\(z^3=8i=8\cdot e^{i\pi/2}\)

\(|z|=\sqrt[3]8=2\)

\(\varphi_1=\dfrac13\cdot\dfrac\pi2=\dfrac\pi6\Rightarrow z_1=2\cdot e^{i\pi/6}\)

\(\varphi_2=\varphi_1+\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{5\pi}6\Rightarrow z_2=2\cdot e^{i\cdot5\pi/6}\)

\(\varphi_3=\varphi_1+\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{3\pi}2\Rightarrow z_3=2\cdot e^{i\cdot3\pi/2}\)

Bei Bedarf kannst du das noch in die kartesische Form umwandeln.

PS:

Diese Zeile ist auch falsch:

8*cos(\( \frac{φ+k*2pi}{3} \))+i*sin(\( \frac{φ+k*2pi}{3} \))

Richtig wäre

\(2*(\cos(\frac{\varphi+k*2\pi}{3} )+i*\sin( \frac{\varphi+k*2\pi}{3} ))\)