0 Daumen
353 Aufrufe

Man finde alle ganzzahligen Lösungen x ∈ Z der Kongruenz 51x ≡ 34 mod 85:

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen

Alle ganzzahligen Lösungen x ∈ ℤ sind x=5k+4 für k∈ℤ.

Avatar von 123 k 🚀
0 Daumen

Es gibt Lösungen, wenn \(\operatorname{ggT}(51,85) \,|\, 34\) ist.

Wegen \(\operatorname{ggT}(51,85) = 17\, |\, 34\)  gibt es also eine Lösung.

Mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus findet man

        \(17 = 2\cdot51-1\cdot85\)

also

        \(34 = 4\cdot 51-2\cdot85\).

Die Kongruenz

        \(51x \equiv 34 \mod 85\)

kann deshalb umgeformt werden zu

        \(51x \equiv 4\cdot 51-2\cdot85 \mod 85\)

also

        \(51x \equiv 4\cdot 51 \mod 85\)

weil der Summand \(-2\cdot 85\) keinen Einfluss auf die Kongruenzklasse hat. Eine Lösung ist somit \(x = 4\).

Lösungsmenge ist somit

        \(\{x\in \mathbb{Z} | \exists r\in \mathbb{Z}: x = 4 + r\cdot \frac{85}{17}\}\).

Avatar von 107 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community