Bestimmen Sie, die Kurve der Schar g_k, welche an der Stelle 2 die Steigung 6 besitzt.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionsschar g_k(x)=x²+2kx-4k+1 (k ist der Parameter).

a) Untersuchen Sie, ob es eine Kurve der Schar g_k gibt, die genau eine Nullstelle besitzt.

b) Bestimmen Sie, die Kurve der Schar g_k, welche an der Stelle 2 die Steigung 6 besitzt.

c) Bestimmen Sie rechnerisch die gemeinsamen Punkte der Funktionsschar.

d) Bestimmen Sie rechnerisch die Ortskurve der Tiefpunkte der Schar.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die 4 Teilaufgaben nicht bzw. wie man das berechnet.

Answer 1

Zu a)

Setze den Funktionsterm gleich 0 und löse die entstehende Quadratische Gleichung. Melde dich wieder, wenn die die Lösunge(en) hast.

zu b) Bilde die erste Ableitung und setze sie gleich 6. Da das nur eine lineare Gleichung ist, solltest du -nachdem du für x dort den Wewrt 2 eingesetzt hast, diese Gleichung nach k umstellen können. Melde dich wieder, wenn du diese Gleichung mit eingesetztem Wert 2 hast.

zu c) Mache es dir einfach. Wähle zwei konkrete und möglichst einfache Werte für k aus (z.B. k=0 und k=1) .

Berechne die Schnittpunkte dieser BEIDEN Graphen.

d) kannst du machen, wenn du a bis c hast. Ans Werk!

Comments

a) x1= Wurzel:1+2kx

x2= -Wurzel:1+2kx

b)

f‘(x)=2x+2k-4

2x+2k-4=6

x=5-k

f‘(2)= 2k

C)

gemacht wie du, also einmal k=0 (f(x))& einmal k=1 (g(x))

f(x)=x^2-4x+1

g(x)=x^2-2x+1

Irgendwelche Fehler?

- was jetzt?

Answer 2

a) Bestimme die Lösungen für x der Gleichung

        x²+2kx-4k+1 = 0.

b) Löse die Gleichung

        g'_k(2) = 6.

c) Löse die Gleichung

        x²+2kx-4k+1 = x²+2rx-4r+1.

d) Bestimme die Tiefpunkte T(x_t | y_t ) der Schar.

  Löse die Gleichung x = x_t nach k auf und setze in y_t auf.

Comments

Ich hab dann raus Wurzel: 1+2kx?

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Nein. Verwende die p-q-Formel.Hier gilt p=2k und q=(-4k+1).

Nächster Versuch:

Answer 3

Gegeben ist die Funktionsschar \(g_k(x)=x^2+2kx-4k+1\) (k ist der Parameter)

a) untersuchen Sie, ob es eine Kurve der Schar \(g_k\) gibt, die genau eine Nullstelle besitzt.

In dem Fall muss der Scheitelpunkt der Parabel auf der x-Achse liegen:

\(y-1+4k=x^2+2kx\)

\(y-1+4k+k^2=x^2+2kx+k^2\)

\(y-1+4k+k^2=(x+k)^2\)

\(y=(x+k)^2+1-4k-k^2\)

S\((-k|1-4k-k^2)\)

\(1-4k-k^2=0\)

\(k^2+4k=1\)

\(k^2+4k+4=1+4\)

\((k+2)^2=5\)

\(k_1=-2+\sqrt{5}\)

\(k_2=-2-\sqrt{5}\)

b) Bestimmen sie die Kurve der Schar \(g_k\), welche an der Stelle 2 die Steigung 6 besitzt.

\(g'_k(x)=2x+2k\)

\(g'_k(2)=4+2k\)

\(4+2k=6\)

\(k=1\)

c) Bestimmen sie rechnerisch die gemeinsamen Punkte der Funktionsschar.

\(g_a(x)= x^2+2ax-4a+1 \)

\(g_b(x)= x^2+2bx-4b+1\)

\( x^2+2ax-4a+1=x^2+2bx-4b+1 \)

\( ax-2a=bx-2b \)

\( ax-bx=2a-2b \)

\( x(a-b)=2a-2b \)

\( x=\frac{2a-2b}{a-b}=2 \)    \(g_k(2)=4+4k-4k+1=5\)

d) Bestimmen Sie rechnerisch die Ortskurve der Tiefpunkte der Schar.

\(g'_k(x)=2x+2k\)

\(2x+2k=0\)

\(x=-k\)

 \(y(-k)=(-k)^2-2k^2-4k+1=k^2-2k^2-4k+1\\=-k^2-4k+1\)

Nun  \(k=-x\)  in \(y=-k^2-4k+1\)  einsetzen:

\(y=-(-x)^2-4\cdot (-x)+1\)

\(y=-x^2+4x+1\)

Answer 4

Gegeben ist die Funktionsschar gk(x) = x^2 + 2·k·x - 4·k + 1 (k ist der Parameter)

a) untersuchen Sie, ob es eine Kurve der Schar gk gibt, die genau eine Nullstelle besitzt

Y-Koordinate des Tiefpunktes muss 0 sein.

gk(x) = x^2 + 2·k·x - 4·k + 1 = 0

x = -k ± √(k^2 + 4·k - 1)

Diskriminante Null setzen

k^2 + 4·k - 1 = 0 --> k = - 2 - √5  ∨ k = - 2 + √5

b) Bestimmen sie, die Kurve der Schar gk, welche an der Stelle 2 die Steigung 6 besitzt

gk'(2) = 2·2 + 2·k = 6 --> k = 1

c) Bestimmen sie rechnerisch die gemeinsamen Punkte der Funktionsschar

ga(x) = gb(x)
x^2 + 2·a·x - 4·a + 1 = x^2 + 2·b·x - 4·b + 1
2·a·x - 2·b·x - 4·a + 4·b = 0
2·x·(a - b) - 4·(a - b) = 0
(2·x - 4)·(a - b) = 0 --> x = 2

gk(2) = (2)^2 + 2·k·(2) - 4·k + 1 = 5 → (2 | 5)

d) Bestimmen Sie rechnerisch die Ortskurve der Tiefpunkte der Schar

gk'(x) = 2·x + 2·k = 0 → k = - x

y = x^2 + 2·(- x)·x - 4·(- x) + 1 = - x^2 + 4·x + 1