Aloha :)
Die gegebene Fläche \(S\) schreit laut nach der Verwendung von Zylinderkoordinaten:
$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\8-r^3\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;2]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]$$
Mit dem Satz von Stokes (symbolisch: \(\,d\vec A\times\vec\nabla=d\vec r\,\)) berechnen wir nun:
$$I=\int\limits_S\operatorname{rot}\vec v\,d\vec A=\int\limits_S(\vec\nabla\times\vec v)\,d\vec A=\int\limits_S(d\vec A\times\vec\nabla)\,\vec v=\oint\limits_{\partial S}d\vec r\,\vec v$$Beim Übergang von einem Flächenintegral zum Linienintegral müssen wir die Fläche geschlossen umranden. Daher halten wir den Radius \(r=2\) konstant und tasten mit \(\varphi\) den Rand der Fläche ab.
$$I=\oint\limits_0^{2\pi}\vec v\,\frac{d\vec r}{d\varphi}\,d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\begin{pmatrix}(r\sin\varphi)^3\\0\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\\r\cos\varphi\\0\end{pmatrix}d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}-r^4\sin^4\varphi\,d\varphi$$$$\phantom{I}=-r^4\int\limits_0^{2\pi}\sin^4\varphi\,d\varphi=-r^4\cdot\frac{3\pi}{4}=-12\pi$$
