Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x)=x^4+x^3-x^2+x-2.

Question

Aufgabe:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x)=x^4+x^3-x^2+x-2.

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keinen Ansatz, da Substitution nicht anwendbar ist(in meinen Augen). Polynom Division halte ich für zu aufwendig, das geht besimmt einfacher.

Answer 1

Das Horner Schema ist eine vereinfachte Polynomdivision

x^4 + x^3 - x^2 + x - 2 = 0

x = 1

1	1	-1	1	-2
0	1	2	1	2
1	2	1	2	0

x^3 + 2x^2 + x + 2 = 0

x = -2

1	2	1	2
0	-2	0	-2
1	0	1	0

x^2 + 1 = 0

Hier gibt es dann keine weiteren reellen Nullstellen.

Answer 2

Hallo,

Ja, es geht tatsächlich einfacher: Du kannst x⁴+x³-x²+x-2 einfach als Produkt schreiben:

f(x) =  x⁴+x³-x²+x-2 = (x-1)(x+2)(x²+1)

Da gilt "Ist einer der Faktoren null, ist das Produkt auch null", ergeben sich folgende Gleichungen:

(I) (x-1) = 0 <=> x = 1

(II) (x+2) = 0 <=> x = -2

(III) (x²+1) = 0 <=> $$x = \pm i$$ (falls du dich in den komplexen Zahlen bewegst, ansonsten hat x^2+1 keine Lösung).

Answer 3

$$Raten$$$$x_1=1$$$$ \begin{matrix} x^4&+x^3&-x^2&+x&-2  \\ x^4 &  -x^3\\ &2x^3&-x^2\\&2x^3&-2x^2\\&&x^2&+x\\&&x^2&-x\\&&&2x&-2\\&&&2x&-2\\&&&&0\end{matrix} $$$$/(x-1)=x^3+2x^2+x+2$$

$$Raten$$$$x_2=-2$$$$\begin{matrix} x^3 &+2x^2&+x&+2  \\x^3&+2x^2  \\&&x&+2\\&&&0\end{matrix} $$$$/(x+2)=x^2+1$$

$$x_3=i ; x_4= -i$$

Answer 4

Zum Raten der ersten Nullstelle kannst du die Koeffizienten addieren:

1+1-1+1-2=0

Glück gehabt! Also ist x=1 eine Nullstelle.

Wenn es weitere ganzzahlige Lösungen gibt, müssen sie Teiler von -2 (die Zahl ohne x) sein. Also bleiben nur -2, -1, 1 und 2.

Du findest x=-2.

Nun kannst du den gegebenen Term durch (x-1)*(x+2) bzw. x^2+x-2 dividieren und bekommst eine quadratische Gleichung.

:-)

PS:

Wenn du einen modernen Taschenrechner benutzen darfst, kannst du damit eine Wertetabelle erstellen und findest die Nullstellen.