Zu a)
P (p1, p2, p3, p4) ist genau dann ein Erzeugendensystem des R≤1(x) wenn sich jedes Polynom vom Grade ≤ 1 durch eine Linearkombination der Polynome aus P darstellen lässt, wenn es also A, B, C und D ∈ R gibt, sodass für alle a, b ∈ R gilt:
a x + b = A * p1 + B * p2 + C * p3 + D * p4
Setzt man die Polynome ein, dann muss also gelten:
a x + b = A * ( x - 5 ) + B * 3 + C * ( 2 x + 1 ) + D * ( - 2 x )
= A x - 5 A + 3 B + 2 C x + C - 2 D x
= ( A + 2 C - 2 D ) x + ( - 5 A + 3 B + C )
Das ist dann der Fall, wenn folgendes Gleichungssystem lösbar ist (Koeffizientenvergleich):
A + 2 C - 2 D = a
- 5 A + 3 B + C = b
Die Lösung mit dem Gauß-Verfahren ergibt, dass es unendlich viele Lösungen dieses Gleichungssystems gibt. Insbesondere kann man C und D frei wählen. Setzt man daher C = 0 und D = 0, so erhält man:
A = a
B = ( b + 5 a ) / 3
Beispiel:
Gegeben sei das Polynom a x + b = 5 x - 3 ∈ R≤1(x)
Dann ist:
A = a = 5
B = ( b + 5 a ) / 3 = ( - 3 + 25 ) / 3 = 22 / 3
Also lässt sich 5 x - 3 darstellen als Linearkombination
A * p1 + B * p2 = 5 * p1 + ( 22 / 3 ) * p2
Nachrechnen:
A * p1 + B * p2 = 5 * ( x - 5 ) + ( 22 / 3 ) * 3 = 5 x - 25 + 22 = 5 x - 3
P (p1, p2, p3, p4) ist daher ein Erzeugendensystem des R≤1(x)
zu b)
Allerdings ist P offenbar kein minimales Erzeugendensystem, denn wie unter a) gezeigt, werden die Polynome p3 und p4 gar nicht benötigt. Jedes Polynom aus R≤1(x) kann als Linearkombination nur der Polynome p1 und p2 dargestellt werden. Daher ist
P* = ( p1, p2 )
eine Basis des R≤1(x).
