R-Vektorraum der Polynome Grad kleiner gleich 2

Question

Aufgabe:

Sei R[X]≤2 = {a0 + a1X + a2X2 | a0, a1, a2 ∈ R} der R-Vektorraum der Polynome vom
Grad ≤ 2, und sei die lineare Abbildung ϕ : R[X]≤2 → R^3 definiert durch
ϕ(f) :=        f(0)
                 f(1)
                 f(2)

[Die drei Klammen sind noch mal in einer Klammer zusammen, jedoch kriege ich es technisch nicht hin]

Problem/Ansatz:

Meine Frage lautet: Wie funktioniert diese Abbildung? Ich verstehe nicht ganz, was ich rein schmeiße und was rauskommt. ϕ(f) ist ja aus dem Vektorraum der Polynome. Es ist eine Abbildungsmatrix gesucht von ϕ bzgl der Standardbasis E aus R^3 und der Basis ( 1, X, X²). Ich versteh aber nicht, wie ich zum Beispiel das Bild von der Basis überhaupt sehen kann. Wie sieht es aus? Setze ich jedes Mal für X={1,2,3} ein?

Danke :(

Comments

Die jeweiligen Definitionsmengen der Teilfunktionen der Funktion \(\Phi\) fehlen. Bitte ergänze die doch noch.

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Tut mir leid, da steht sonst nichts auf dem arbeitsblatt. Das ist alles was da steht.

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ϕ (f) := ( f(1) , f(2) , f(3) )

Halt die klammer untereinander geschrieben da wir im R^3 sind

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Steht denn gar nichts hinter f(0), f(1) oder f(2)?

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Wieso sollte ich dich anlügen?

Meine Vermutung ist:

F(0) = a0

F(1) = a0 + a1 * 1 + a2 * 1^2

F(1) = a0 + a1 * 2 + a2 * 2^2

Aber wie sehen denn dann die Bilder der Basis aus?

Answer 1

 ϕ(f) ist ja aus dem Vektorraum der Polynome

Nein, das f ist daraus. Das Bild ist jeweils ein

Element aus R^3 , also

$$ϕ(1) = \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} ϕ(x) = \begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix} ϕ(x^2) = \begin{pmatrix} 0\\1\\4 \end{pmatrix} $$

Setze ich jedes Mal für X={1,2,3} ein?   Nein 0,1,2 !

Comments

Wenn du mir freundlicher Weise erklären könntest, wie du auf die Zahlen kommst, wäre ich dir soooooo dankbar. wie Kommst  du auf

ϕ(x) = ( 0, 1, 2) und bei ϕ(x²) = ( 0, 1, 4) ??

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ϕ(x) = ( 0, 1, 2) ergibt sich aus der Definition (wenn man die Spalte

als Zeile schreibt, das kannst du ja dann

anpassen.)

ϕ(f) :=      (  f(0)  ,      f(1) ,                  f(2) )

für das Polynom x hast du ja ausführlich

f(x) = 0 + 1*x + 0*x^2 also ist dann

f(0) =  0 + 1*0 + 0*0^2  = 0

f(1) =  0 + 1*1 + 0*1^2 = 0 + 1 + 0 = 1

f(2) =  0 + 1*2 + 0*2^2 = 2

entsprechend bei x^2

f(x) =  0 + 0*x + 1*x^2

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OMG vielen Dank Danke

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Wie würde in diesem Kontext die inverse Abbildung aussehen?

Sprich ϕ^-1(f)

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Da musst du ja dann zu dem Vektor (u,v,w)

das passende Polynom finden.

Mit dem Ansatz f(x) = a+bx+cx^2 hättest du

beim Einsetzen von ( 0;u) , (1;v) und (2;w) die

Gleichungen

u = f(0) = a 
v= f(1) = a+b+c 
w=f(2) = a+2b+4c

und dieses Gleichungssystem nach a,b,c, auflösen

und du hast dein Polynom.

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sorry ich hab es echt nicht verstanden. von wo kommen jetzt (u,v,w) her? Oder sind das einfach Platzhalter für einen Vektor im R³? Und wie kommst du auf die Gleichungen?

u = f(0) = a
v= f(1) = a+b+c
w=f(2) = a+2b+4c

was steht links in meinem LGS? rechts sind ja die Parameter a,b,c vertreten. und links?

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Oder sind das einfach Platzhalter für einen Vektor im R³?

Ja, du musst ja überlegen:

Wie komme ich von einem gegebenen Vektor von R^3

(Den nenne ich mal (u,v,w).) zu dem Polynom ?

Und wie kommst du auf die Gleichungen?

Das ist so ähnlich wie du den Term eines

Polynoms bestimmst, dessen Graph  durch

3 vorgegebene Punkte gehen soll .

Diese sind dann  ( 0;u) , (1;v) und (2;w)

und die Ergebnisse für a,b,c musst du dann durch

u,v,w ausdrücken , etwa so

a=u  und b= -1,5u +2v - 0,5w

und c= 0,5u - v +0,5w .

Also ist die Umkehrabbildung

(u,v,w) ↦ f(x) = u +( -1,5u +2v)x +(0,5u - v +0,5w)x^2