Beweis, dass Folge eine Nullfolge ist

Question

Aufgabe:

 Es sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge positiver reeller Zahlen und es sei \( q \in(0,1) . \) Für alle \( n \in \mathbb{N} \) gelte \( a_{n+1} \leq q \cdot a_{n} . \) Zeigen Sie, dass \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Nullfolge ist.

Ansatz:

Also ich habe bereits bewiesen, dass daraus folgt, dass die Folge monoton fallend, nach unten beschränkt und somit insgesamt konvergent ist. Mir ist auch anschaulich klar, warum der Grenzwert gleich 0 sein muss; weiß aber nicht, wie man das formal korrekt beweist. Cauchy-Kriterium evtl.?

Answer 1

Hallo

 wenn für alle n>N gilt a_n+1<q*a_n

 dann hast du für a_n+m<q^m*a_{_n}  und jetzt m gegen oo

Gruß lul

Comments

!! In Kurzform dann also so?

\(lim_{n \to \infty} a_n =\)

\(lim_{m \to \infty} a_{n+m}\)

\( \leq lim_{m \to \infty} \) \(q^m \cdot a_n= 0 \)

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Und daraus folgt, dass die Folge gegen 0 konvergiert; ihr Grenzwert kann nämlich nicht kleiner als 0 sein (denn alle Folgenglieder sind positiv)