Beweis, dass die reziproke Folge einer Nullfolge gegen ±∞ divergiert.

Question

es geht um den Beweis für Folgendes:

Sei a_n eine reelle Folge positiver Zahlen mit dem Grenzwert a_n= 0 , so divergiert 1/ a_n bestimmt gegen + oder- unendlich.

Scheint logisch zu sein aber wie beweist man das nun?

Danke für Ihre Vorschläge. 

 

Comments

Wenn das positive Zahlen sind, wie soll denn da - unendlich rauskommen?

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ohh... da habe ich wohl etwas vergessen. Es sollte heißen "positiver bzw. negativer Zahlen".

Answer 1

Sei zunächst  a_n > 0. Wähle  K > 0  beliebig. Definiere ε := 1/K > 0.
Wegen  lim_n→∞ a_n = 0  existiert ein  N ∈ ℕ  mit  a_n < ε  für alle  n > N.
Daraus folgt  1/a_n > 1/ε = K. Im Fall  a_n < 0  folgt analog  1/a_n  < -K.

Comments

Schöner Beweis für plus unendlich!

(an) ist nach Voraussetzung eine positive Nullfolge.

Ansonsten gäbe es mit an: = (-1)^n/ n ein Problem.