Zeigen Sie, dass die beiden Zahlen zueinander reziprok sind: √(5√2-7) und √(5√2+7)

Question

Sind die Zahlen reziprok zueinander?

√(5√2-7) und √(5√2+7)

Answer 1

Behauptung: √ (5 √ 2 -7) = 1 / √ ( 5 √ 2 + 7 )

Beweis:

√ (5 √ 2 -7) = 1 / √ ( 5 √ 2 + 7 )

<=> √ (5 √ 2 -7) * √ ( 5 √ 2 + 7 ) = 1

<=> √ [ (5 √ 2 -7) * ( 5 √ 2 + 7 ) ] = 1

[Der Wert einer Wurzel ist genau dann gleich 1 wenn der Wert ihres Radikanden gleich 1 ist, also:]

<=> ( 5 √ 2 - 7 ) * ( 5 √ 2 + 7 ) = 1

[Linke Seite mit dritter binomischer Formel ausmultiplizieren:]

<=> 25 * 2 - 49 = 1

<=> 50 - 49 = 1

<=> 1 = 1

Das ist eine wahre Aussage, also ist aufgrund der Äquivalenzumformungen auch √ (5 √ 2 -7) = 1 / √ ( 5 √ 2 + 7 ) eine wahre Aussage.

Answer 2

Hi,

denke an die binomische Formel:

$$\sqrt{5\sqrt2-7}\cdot\sqrt{5\sqrt2+7} = \sqrt{(5\sqrt2-7)(5\sqrt2+7)} =  \sqrt{25\cdot2 - 49} = \sqrt1 = 1$$

Ist also reziprok.

Grüße

Comments

Vielen Dank !

die Binomischen Formeln hätte ich fast vergessen!! Danke

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Die gilts immer im Auge zu behalten^^.

Gerne

Answer 3

Zwei reziproke Zahlen a und b haben das Produkt a * b = 1

√(5√2 - 7) * √(5√2 + 7)
= √((5√2 - 7) * (5√2 + 7))
= √((5√2)^2 - 7^2)
= √(50 - 49)
= √1
= 1

Stimmt also.