Basiswechsel im Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner gleich 2

Question

Hallo liebe Matheexperten,

ich komme bei folgender Übungsaufgabe nicht weiter:

im Vektorraum der Polynome mit Grad kleiner gleich 2, \(p\in\mathbb{R}_{\le2}[x]\), seinen die Basen \(B=(1+x,1-x,2x+x^2)\) und \(C=(3x,x^2-1,1)\) gegeben. Bestimmen Sie für ein Polynom \(p(x)=ax^2+bx+c\) den Koordinatenvektor \(\vec v_B\) bezüglich der Basis \(B\), verwenden Sie dann die Basiswechselmatrix, um das Polynom mit dem Koordinatenvektor \(\vec v_C\) bezüglich der Basis C darzustellen.

Den ersten Teil habe ich hingekriegt: \(\vec v_B=\left(\frac{b+c-2a}{2}\;;\;\frac{c-b-2a}{2}\;;\;a\right)\).

Aber wie geht das nun mit der Basiswechselmatrix, könnt ihr mir da vielleicht helfen?

Answer 1

Aloha :)

Bei deinem Vektor \(\vec v_B\) hat sich in der zweiten Komponente ein Vorzeichenfehler eingeschlichen, rechne da am besten nochmal nach. Richtig müsste es heißen:$$\vec v_B=\left(\frac{b+c-2a}{2}\;|\;\frac{c-b+2a}{2}\;|\;a\right)^T$$

Zur Bildung der Basiswechselmatrix \(A\) von der Basis \(B\) zur Basis \(C\) musst du jeden einzelnen B-Basisvektor als Linearkombination der C-Basisvektoren darstellen. Dann erhältst du für jeden B-Basisvektor 3 Koeffizienten, die du jeweils in eine eigene Spalte der Basiswechselmatrix \(A\)einträgst.

$$\begin{array}{c}1+x &=& \frac{1}{3}\cdot(3x)+0\cdot(x^2-1)+1\cdot(1)\\1-x &=&-\frac{1}{3}\cdot(3x)+0\cdot(x^2-1)+1\cdot(1)\\2x+x^2&=& \frac{2}{3}\cdot(3x)+1\cdot(x^2-1)+1\cdot(1)\end{array}$$$$\Rightarrow\quad A=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\0&0&1\\1&1&1\end{array}\right)$$Damit ist die gesuchte Darstellung:

$$\vec v_C=A\cdot\vec v_B=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\0&0&1\\1&1&1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}\frac{b+c-2a}{2}\\ \frac{c-b+2a}{2}\\a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{b+c-2a}{6}-\frac{c-b+2a}{6}+\frac{2}{3}\\a\\\frac{b+c-2a}{2}-\frac{c-b+2a}{2}+a\end{array}\right)$$$$\phantom{\vec v_C}=\left(\begin{array}{c}\frac{b}{3}\\a\\a+c\end{array}\right)$$Noch zur Probe:

$$p(x)=\frac{b}{3}\cdot(3x)+a\cdot(x^2-1)+(a+c)\cdot(1)=bx+ax^2-a+a+c$$$$\phantom{p(x)}=ax^2+bx+c$$

Answer 2

Die Wechselmatrizen BP und CP kannst du den Basen B und C entnehmen

$$ BP = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

$$ CP = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$

Damit sind die Wechselmatrizen PB und PC wie folgt:

$$ PB = BP^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1/2 & 1/2 \\ 1 & -1/2 & 1/2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

$$ PC = CP^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1/3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Damit ist

$$ \vec{v_B} = PB \cdot \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a + b/2 + c/2 \\ a - b/2 + c/2 \\ a \end{pmatrix} $$

Du hast in deiner Antwort lediglich einen Vorzeichenfehler.

$$ \vec{v_C} = PC \cdot \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b/3 \\ a \\ a + c \end{pmatrix} $$