Bitte übersetzen - "Polynome vom Grad kleiner gleich n bilden einen Vektorraum."

Question

Gelesener Satz.

Für jede natürliche Zahl \(n\) sowie für \(n = 0\) und \(n = -\infty \) 
bildet die Menge $$ \mathbb{K}[X]_{n}=\left\{a_{n} X^{n}+\cdots+a_{1} X+a_{0} | a_{i} \in \mathbb{K}\right\} $$ aller Polynome mit einem Grad kleiner gleich \(n\) einen Vektorraum.

Problem:

Ich verstehe den gelesenen Satz nicht, 
Ich weiss, dass der Grad deg(p) = n eines Polynoms p gleich \(n\) ist falls \( n \in \mathbb{N}_0.\)
Speziell gilt für den fall n = 0, dass das Polynom p den Grad als \( deg(p) = -\infty\) hat.

Aber den Sachverhalt für \(n = -\infty\) kenne ich nicht und der wird oben im gelsesnene Satz eben doch erwähnt. 


Zusammengefasst:

Ich glaube das verstanden zu haben:

Die Menge aller Polynome \( \mathbb{K}[X]_{n} \) mit \(n \in \mathbb{N}_0\) bildet einen Vektorraum wenn 
n = n, (dann ist sein deg(p) = n) 
n = 0, (dann ist sein deg(p) =\( - \infty \))
n = \( - \infty \) (<-- Verstehe nicht, was das aussagen soll.)

Was ist ein Polynomring mit \(n = -\infty \) ? 
Stimmt das mit den deg(p) und dass \(n \in \mathbb{N}_0\) ist, denn wenn \(n \in \mathbb{N}\) dann müsste der deg(p) = n-1 sein?

Comments

Konstante Polynome ungleich 0 haben den Grad 1, insofern ist deine Darstellung oben nicht richtig. Dem Nullpolynom selbst wird der Grad Minus Unendlich zugeordnet.

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Woah, das wirft mich jetzt völlig aus der Bahn. Kannst du das genauer erläutern ? 

Ein Polynom \(p_n\) mit \( i \in \mathbb{N}_0 \)ist generell wie folgt definiert: 
$$ p_i = \sum\nolimits_{i=0}^n a_iX^i = a_0X^0 + a_1X^1 + ... + a_{n-1}X^{n-1} + a_nX^n.  $$

Bsp. n = 3 : 
$$ p_3 = \sum\nolimits_{i=0}^3 a_iX^i = a_0X^0 + a_1X^1 + a_2X^2 + a_3X^3. \Rightarrow deg(p_3) = 3. $$
Generell, Falls i > 0, dann ist deg(p) = n. 


Bsp n = 0 Nullpolynom : 
$$ p_0 = \sum\nolimits_{i=0}^0 a_iX^i = a_0X^0 = a_0.   \Rightarrow deg(p_0) \stackrel{Def.}{=}  - \infty. $$


Frage: 
Falls das obige bisher korrekt ist, frage ich mich was passiert für \( n = - \infty ?\)

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Das letzte Beispiel ist nicht(!) das Nullpolynom!

Answer 1

Hallo

 Zitat aus: https://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/funktion/leit05.pdf

"(1) Manche Bücher geben der Nullfunktion als Grad das Symbol −∞."

 ich denke das ist gemeint und nicht n=-oo als Exponent. n=0 ist dann das konstante Polynom.

(die Verwirrung kommt daher dass manche Dozenten ud Bücher 0 zu den natürlichen Zahlen rechnen, manche nicht)

Gruß lul

Comments

Kennst du einen guten Grund für diese Konventionen (grad -1 bzw. grad -∞) ?

Der Satz "Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen" würde doch ohne Ausnahme weiter gelten, wenn der Grad des Nullpolynoms zu +∞ definiert würde.

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Danke, ja, also meiner meinung kann ein Polynom p sogenannte Grade von n besitzen wobei n = { 0, 1, 2,...., n }

Dabei gibt es dann folgendes zu beachten/unterscheiden: 

n>0 ⇒ deg(p) = n 
n = 0 ⇒ deg(p) = \( -\infty \)

So weit ist es mir klar. (Aber ich hoffe dass es stimmt?) 




Weiter kam mir der Gedanke auf, ob der Fall: 

n<0 überhaupt definiert ist oder sinn macht ?
Falls ja, welchen Grad hätte dann ein Polynom mit n < 0 ?

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Hallo

 zur letzten Frage hatte ich doch geschrieben. von n<0 allgemein ist nicht die Rede zu grad =-oo hatte ich dir das Zitat geschickt. negative n in die Summe einzusetzen, macht aus der Summe etwas, was man nicht mehr Polynom nennt.

lul

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n = 0 ⇒ deg(p) = −∞

Das ist nicht richtig.