Bestimmen Sie die allgemeine Lösung und ordnen Sie den Funktionen die richtige Bezeichnung zu

Question

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Aufgabe \( 2 .(3 \) Punkte) Wir betrachten die homogene lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten
$$ y^{\prime \prime}(x)+2 y^{\prime}(x)-15 y(x)=0 $$
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung und ordnen Sie den Funktionen
$$ y_{1}(x)=2 \mathrm{e}^{x}-3 \mathrm{e}^{3 x}, \quad y_{2}(x)=\mathrm{e}^{3 x}, \quad y_{3}(x)=0, \quad y_{4}(x)=3 \mathrm{e}^{3 x}-2 \mathrm{e}^{-5 x} $$
die richtige Bezeichnung zu (wobei eine Mehrfachbenennung möglich ist):
a) triviale Lösung
b) partikuläre Lösung
c) Fundamentallösung
d) keine Lösung.

Hallo, kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? :)

Answer 1

Hallo,

Ansatz: y =e^(λx), 2mal differenzieren und in die DGL einsetzen:

die charakteristische Gleichung lautet:

λ^2 +2λ -15=0 Lösung z.B pq-Formel

λ_1,2= -1 ±√(1+15)

λ_1,2= -1±4

λ₁= 3

λ₂= -5

------->

Lösung:y=C₁ e^(-5x) +C₂ e^(3x)

a) triviale Lösung:y₃(x)=0
b) partikuläre Lösung : y₂
c) Fundamentallösung :y₄(x)
d) keine Lösung :y₁