Allgemeine Lösung des homogenen Gleichungsystems

Question

Aufgabe:

Gesucht Allgemeine Lösung des homogenen Gleichungssystem

Problem/Ansatz:

Hallo,ich weiss nicht wie ich weiter komme

Gegeben ist :

1  -1  0

1  0  1

1  1  2

Mit Gauss vervahren habe ich

1  -1  0

0  1  1

0  0  0

Was soll man weiter machen ?

Answer 1

Aloha :)

Deine Gauß-Umformungen kann ich bestätigen:$$\begin{array}{rrr|c}x & y & z & =\\\hline\red1 & -1 & \green0 & 0\\\red0 & 1 & \green1 & 0\\\red0 & 0 & \green0 & 0\end{array}$$

Ich habe die Spalten farblich markiert, die genau eine Eins und sonst nur Nullen enthalten. Stelle die Gleichungen nach den Variablen mit dieser Eins um:$$\red x-y=0\implies \red x=y$$$$y+\green z=0\implies \green z=-y$$

Nun kannst du alle Lösungen angeben:$$\begin{pmatrix}\red x\\y\\\green z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y\\y\\-y\end{pmatrix}=y\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$$

Comments

Danke,das war sehr hilfreich,aber letzte Schritt habe ich nicht verstandem,woher kommt y ?

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Es ist ja \(x=y\) und \(z=-y\). Dabei ist \(y\) tatsächlich die \(y\)-Koordinate des Lösungspunktes. Du kannst für \(y\) irgendeine reelle Zahl einsetzen. Wenn du möchtest, kannst du \(y\) auch durch eine andere reelle Variable ersetzen, z.B. durch \(t\in\mathbb R\). Aber das ist nur Kosmetik.

Answer 2

Die letzte Gleichung sagt: Wert für z ist egal, nenne ihn t.

==>  y+t=0 ==>     y = -t

und ==> x-(-t) = 0 ==>    x = -t

Also sind die Lösungen alle von der Form

( -t ; -t ; t ) = t*(-1;-1;1)

==> (-1;-1;1) ist eine Basis des Lösungraumes.