Bestimmen Sie die Ideale vin Z14 .

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Ideale vin Z₁₄ .

Wie kann man genau vorgehen?

Comments

Gibts es eine bestimmte Methode dafür?

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Sagen Sie mir nur, wie man es berechnet. Ich brauch keine Lösung.

Answer 1

Es geht ja wohl um R =  Z14 .

Wie in jedem Ring, gibt es die Ideale {0} und ganz R.

Dann musst du nach Teilmengen suchen, die bzgl. + und - abgeschlossen sind.

0 ist in jedem Ideal enthalten.

Nimmt man noch 1 dazu, erhält man durch fortgesetztes Addieren ganz R.

Nimmt man zur 0 die 2 hinzu, erhält man so  (2) = {0;2;4;...;12} . Und wenn man

eines dieser Elemente mit irgendeinem r∈R multipliziert bleibt man auch in (2).

Das ist also ein Ideal.

So kannst du weiter vorgehen. Nimm etwa zur 0 die 3 hinzu und schaue, was

beim fortgesetzten Addieren passiert. Bedenke  12+3=15=1.

Comments

Dankeschön. Du hast es sehr schön erklärt :)

Answer 2

Sei \(f:\; \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}_{14}=:R\) der kanonische

surjektive Ringhomomorphismus \(f(z)=z\) mod \(14\).

Ist \(I\) ein Ideal von \(R\), so ist \(f^{-1}(I)\) ein Ideal von \(\mathbb{Z}\), also ein

Hauptideal.

Damit ist auch \(I\) ein Hauptideal in \(R\): \(I=(r)\) mit \(r\in R\).

Die Einheiten von \(R\) sind

\(R^*=\{1,3,5,9,11,13\}\). Das bedeutet:

\(R=(1)=(3)=(5)=(9)=(11)=(13)\).

Klar ist \((0)\) ein Ideal.

Man muss also noch die Ideale

\((2),(4),(6),(7),(8),(10),(12)\) genauer untersuchen.

Überlege auch, dass gillt: \((a)=(ra)\) für alle \(r\in R^*\).

Damit siehst du z.B. sofort \((2)=(6)\).