Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene in Normalenform.

Question

Aufgabe:

Aufgabe 1: In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sind die Punkte \( A(4|-2| 5), B(8|-4| 1) \) und \( D(2|2| 1) \) und die Gerade

\( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l} 8 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right), r \in \mathbb{R} \quad \text { gegeben. } \)
a) Die Punkte \( A, B \) und \( D \) legen eine Ebene \( E \) fest. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \( E \) in Normalenform.
b) Die Gerade \( g \) schneidet die Ebene \( E \) im Punkt \( C \) unter dem Winkel \( \varphi \). Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes \( C \) sowie die GröBe des Winkels \( \varphi \).
c) Zeigen Sic, dass das Dreieck \( A B D \) gleichschenklig und rechtwinklig ist und dass der Punkt \( C \) dieses Dreieck zu einem Viereck \( A B C D \) ergänzt. Welcher Art ist das Viereck \( A B C D \) ?
d) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes \( M \) des Vierecks \( A B C D \), sowie dessen Flächeninhalt.

Aufgabe 2: Gegeben sind die beiden Ebenen \( E_{1} \) und \( E_{2} \) :
\( E_{1}: x_{2}+x_{3}=1 \quad ; \quad E_{2}: x_{1}+x_{3}=1 \)
a) Zeigen Sie: Die beiden Ebenen schneiden sich in einer Geraden. Bestimmen Sie eine Gleichung für die Schnittgerade \( g \).
b) Welche Winkel \( \alpha \) schließen die beiden Ebenen mit der \( x_{1}-x_{2}- \) Ebene ein?
c) Welchen Winkel \( \beta \) schließt dic Schnittgerade \( g \) mit der \( x_{1}-x_{2}- \) Ebene ein?
d) Wie groß ist das Verhältnis der beiden Winkel \( \beta: \alpha \) in Prozent?
e) Welchen Winkel \( \gamma \) schließen die beiden Ebenen ein?

Problem/Ansatz:

Also ich verstehe wirklich nix und weiß keinen anstatz

Answer 1

a) Die Punkte A, B und D legen eine Ebene E fest. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform.

Spannvektoren der Ebene

AB = [4, -2, -4]
AD = [-2, 4, -4]

Normalenvektor der Ebene

k·n = AB x AD = [24, 24, 12] = 12·[2, 2, 1]

Normalenform der Ebene

E: (X - [2, 2, 1])·[2, 2, 1] = 0

Answer 2

Hallo

a) du hast die Gleichung ax+by+cx=d da setz die 3 Punkte ein und bestimme die Koeffizienten.

b) schneiden kannst du, dann bestimme den Winkel zwischen der Flächennormalen und dem Richtungsvektor der Geraden mit Skalarprodukt

c)  Seitenlängen vergleichen und dann die 2 gleichen müsse  senkrecht stehen

d9

d) tu mal was alleine oder frage gezielt was du nicht kannst

"Also ich verstehe wirklich nix und weiß keinen anstatz"  Halte ich für eine Schutzbehaupttung, damit jemand dir das Rechnen abnimmt?

in der Schule habt ihr Beispielaufgaben gerechnet, wahrscheinlich stehe auch welche im Buch, also kann man nachlesen