Ebene in Normalenform aufstellen

Question

Aufgabe:

… B(3|3|7), C(-3|3|7), S(0|0|13)

Stelle eine Ebene E in der Normalenform auf.

Ich habe das mit dem Kreuzprodukt gerechnet aber die Lösung war als ich mit meinen Freunden verglichen habe falsch.

Problem/Ansatz:

Answer 1

BC = [-3, 3, 7] - [3, 3, 7] = [-6, 0, 0]

BS = [0, 0, 13] - [3, 3, 7] = [-3, -3, 6]

BC x BS = [-6, 0, 0] x [-3, -3, 6] = [0, 36, 18] = 18·[0, 2, 1]

Ebenengleichung

E: 2·y + z = 13

Answer 2

Aloha :)

$$\left(\begin{array}{c}3\\3\\-6\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-3\\3\\-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\cdot6-3\cdot6\\6\cdot(-3)-3\cdot6\\3\cdot3-3\cdot(-3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\-36\\18\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c}0\\-36\\18\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0\\0\\13\end{array}\right)=18\cdot13$$Die Ebenengleichung ist daher:

$$E:\;\left(\begin{array}{c}0\\-36\\18\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)-234=0$$Oder in Komponenten geschrieben:

$$0\cdot x_1-36\cdot x_2+18\cdot x_3-234=0$$$$2\cdot x_2+x_3-13=0$$

Answer 3

\(\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BS} = (-6,0,0)^T \times (-3,-3,6)^T = (0,-36,-18)^T \Rightarrow (0,2,1)^T\)

\(\Rightarrow E: (0,2,1)^T \circ [ \vec{x}- \overrightarrow{OB}] = 0\)