Punkte A (3/0/6), B (6/-6/-4) und C (-2/-4/4) festgelegt. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform.

Question

Eine Ebene E sei durch die Punkte A (3/0/6), B (6/-6/-4) und C (-2/-4/4) festgelegt. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform.

Ich habe leider keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen soll...

Comments

Vermutlich sollst du die sog. Koordinatenform der Ebenengleichung bestimmen.

Das wäre eine Gleichung der Form

E: ax + by + cz + d = 0

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Muss ich dann zunächst AB ausrechnen und AC?

dann das Kreuzprodukt aus den beiden?

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Ja genau. Das kommt gut.

Dann hast du schon mal a,b und c in E: ax + by + cz + d = 0.

Danach einen der Punkte einsetzen und noch d bestimmen.

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und dann das Kreuzprodukt mit A skalar multiplizieren und dann habe ich das Ergebnis?

Answer 1

du suchst dir einen vektor aus zB : A(3/0/6)

dann machst du A-B (-3/6/10)  &  A-C (5/4/2)  die neuen Vektoren (-3/6/10) & (5/4/2) nenne ich jetzt mal D und E

jetzt machst du das Kreuzprodukt von D (-3/6/10) und E (5/4/2) :

das geht wie folgt -->  D₂ * E₃ - D₃ * E₂ = 12 - 40 = (-28)

                                        D₃ * E₁ - D₁ * E₃ = 50 + 6  =   56

                                        D₁ * E₂ - D₂ * E₁ = (-12) - 30 = (-42)

 

den neuen vektor M (-28/56/-42) brauchst du jetzt um die normalgleichung aufzustellen.

E ⟨x Ι M (-28/56/-42) *[ (x₁/x₂/x₃)-A (3/0/6)]=0⟩

jetzt musst du einfach die klammer auflösen und die Zahlen ohne x auf die rechte seite bringen.

da sollte dann rauskommen : E ⟨x Ι -28x₁ + 56x₂ - 42x₃ = - 336⟩

                         vereinfacht          E ⟨x Ι -2x₁ + 4x₂  - 3x₃ = - 24⟩

das is deine normalgleichung der ebene.

mfg Kris 

Comments

Wie kommst du auf die -336? :)

Answer 2

Dann hast du schon mal a,b und c in E: ax + by + cz + d = 0.

Danach einen der Punkte einsetzen und noch d bestimmen. 

und dann das Kreuzprodukt mit A skalar multiplizieren und dann habe ich das Ergebnis?

Ja. Das geht auch.

Führt dich aber auf eine Gleichung der Form E: n*r = d

oder in meiner Schreibweise: E: ax + by + cz = d und nicht '+d = 0'

Normalenform könnte tatsächlich so gemeint sein, wie du das sagst.