Aufgabe:
Sei \( R \) ein Integritätsbereich, der kein Körper ist. Zeige, dass es unendlich viele Ideale \( I_{1}, I_{2}, \ldots \) von \( R \) mit \( I_{n+1} \subset I_{n} \) für alle \( n \) gibt.
Problem/Ansatz:
Da \( R \) kein Körper ist, gibt es ja ein Element \( a \) in \( R \), welches kein multiplikatives Inverses hat. Indem man \( a \) wiederholt multiplizieren, kann man jetzt doch eine unendliche Kette von Idealen konsturieren?
\( I_{n}=\left(a^{n}\right) \)
\( I_{n} \) ist also das Ideal, das durch die Potenzen von \( a \) erzeugt wird ( \( I_{n+1} \subset I_{n} \) für alle \( n \), da \( a^{n+1} \) ein Vielfaches von \( a^{n} \) ist).
Da \( a \) kein multiplikatives Inverses hat, ist \( a^{n} \neq a^{n+1} \) für alle \( n \), so dass alle \( I_{n} \) unterschiedlich sind.
Kann ich somit schlussfolgern, dass es unendlich viele solcher Ideale in \( R \) gibt?
