Prüfen Sie nach, dass die Menge S ·K[X] ein Ideal ist. (Algebra - Ideale und Untergruppe)

Question

Aufgabe (Algebra - Ideale und Untergruppe):

Wir betrachten den Ring K[X] über einem Körper K. Ein Ideal I ≤ K[X] ist eine Untergruppe von (K[X],+), sodass für alle Polynome P ∈ I und Q ∈ K[X] gilt: P · Q ∈ I. Wir zeigen nun, dass jedes Ideal I ≤ K[X] die Form I = S ·K[X] hat, mit einem geeigneten Polynom S ∈ K[X].

Sei S ∈ K[X]. Prüfen Sie nach, dass die Menge S ·K[X] ein Ideal ist.

Answer 1

Für ein Ideal reicht es zu zeigen, dass

1. \(I\) unter "+" abgeschlossen ist und

2. dass aus \(F \in I\) und \(g \in K[X]\) folgt \(F\cdot g\in I\)

Zu 1.: Seien \(f, g\in K[X]\), dann gilt \(S\cdot f+ S\cdot g=S\cdot (f+g)\) und

es ist \(f+g\in K[X]\).

Zu 2.: Sei \(F\in I\), dann existiert \(f \in K[X]\) mit \(F=S\cdot f\).

Für beliebiges \(g\in K[X]\) gilt dann

\(F\cdot g=(S\cdot f)\cdot g=S\cdot (fg)\) und es ist \(fg\in K[X]\).