Zweiseitige Ideale von Mn;n(K). Lineare Algebra

Question

ich verstehe leider nicht viel von Idealen und bräuchte hilfe bei dieser Aufgabe :

Sei K ein Körper und n ∈ ℕ. Zeigen Sie, dass die einzigen zweiseitigen Ideale von M_n,n (K) die
trivialen Ideale M_n,n (K)  und {0} sind.

Danke :)

Answer 1

Dass die trivialen Ideale  zweiseitig sind, ist wohl klar.

Sei also J ein Ideal , das nicht nur die Nullmatrix enthält, also

enthält J eine Matrix A, die an mindestens einer Stelle ein x ungleich 0

enthält. Sei nun das x in der i-ten Zeile in der k-ten Spalte.

Mache dir nun eine Matrix B, die nur Nullen hat aber  in der k-ten Zeile

irgendwo eine 1.  Probiere das mal mit unterschiedlichen Stellen für die 1.

Dann hat B*A das Element immer in der entsprechenden Spalte.

Du kannst also durch geeignete Multiplikation das x auf jede gewünschte Zeile

im Ergebnis schieben.

Wenn du umgekehrt eine Matrix C nimmst, die nur Nullen hat und in der i-ten Zeile

eine 1, dann kommt  bei A*C das x auf jede gewünschte Zeile.

Wenn du also genügend viele Multiplikationen machst, kannst du eine

Matrix mit der ganzen Diagonale voll x erzeugen. Da x ungleich Null ist, kannst du

noch mit 1/k multiplizieren (Das Ergebnis ist dann natürlich auch in dem Ideal.)

und hast so gezeigt, dass die Einheitsmatrix in dem Ideal ist, und damit das

Ideal ganz M_n,n (K)  umfasst.