Dass die trivialen Ideale zweiseitig sind, ist wohl klar.
Sei also J ein Ideal , das nicht nur die Nullmatrix enthält, also
enthält J eine Matrix A, die an mindestens einer Stelle ein x ungleich 0
enthält. Sei nun das x in der i-ten Zeile in der k-ten Spalte.
Mache dir nun eine Matrix B, die nur Nullen hat aber in der k-ten Zeile
irgendwo eine 1. Probiere das mal mit unterschiedlichen Stellen für die 1.
Dann hat B*A das Element immer in der entsprechenden Spalte.
Du kannst also durch geeignete Multiplikation das x auf jede gewünschte Zeile
im Ergebnis schieben.
Wenn du umgekehrt eine Matrix C nimmst, die nur Nullen hat und in der i-ten Zeile
eine 1, dann kommt bei A*C das x auf jede gewünschte Zeile.
Wenn du also genügend viele Multiplikationen machst, kannst du eine
Matrix mit der ganzen Diagonale voll x erzeugen. Da x ungleich Null ist, kannst du
noch mit 1/k multiplizieren (Das Ergebnis ist dann natürlich auch in dem Ideal.)
und hast so gezeigt, dass die Einheitsmatrix in dem Ideal ist, und damit das
Ideal ganz Mn,n (K) umfasst.
