Ideale im Ring Z und Körper Q

Question

Hallo, ich suche ein Ideal in ℤ, welches kein Ideal in ℚ ist.

Ich weiß, dass es in ℚ nur zwei Ideale gibt und zwar das Nullideal und Q als Körper selbst.

In ℤ sind alle Ideale der Form { xn | x∈ℤ und n∈ℕ} . So habe ich mir überlegt (2) als Ideal zu wählen. Ich bin mir nur unsicher weil ich noch nicht so vertraut mir Idealen bin.

Kann mir bitte jemand helfen?

Answer 1

Du hast doch alles richtig überlegt !

Comments

War die Überlegung in dem Fall doch so einfach! Danke

Aber wie beweise ich dies mithilfe den Eigenschaften eines Ideals?

Ich habe überlegt die Gleichung umzustellen 2n• (p/q)=1 ⇔ 2= (q/n•p) zu schreiben aber dies ist doch in Q möglich?

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Du musst doch nur zeigen , dass (2) ein Ideal in ℤ ist,

und das dies weder das Nullideal noch ganz ℚ ist.

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Für die Aufgabe muss ich zeigen, dass (2) kein Ideal in Q ist und ich darf nicht voraussetzen, dass es nur zwei Ideale in Q gibt.

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Wäre (2) ein Ideal in ℚ, dann müsste für alle q∈ℚ auch q*2 in (2) liegen.

Insbesondere also auch 0,5*2 = 1 . Die 1 liegt aber nicht in (2).

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Oh man, das ist ja eigentlich trivial. Danke für deine Hilfe!