Question

Zeigen Sie, dass es in einem Körper keine Ideale außer {0} und K gibt.

Answer 1

Sei  K  ein Körper und  I ⊆ K  ein Ideal.
Nach Definition gilt  a·x ∈ I  für alle  a ∈ I  und  x ∈ K.
Sei  a ∈ I  mit  a ≠ 0. Da  K  ein Körper ist, existiert ein  k ∈ K  mit  a·k = 1, d.h. 1 ∈ I  und damit  1·x ∈ I  für alle  x ∈ K.
Daraus folgt die Behauptung.

Answer 2

  Hier da hab ich was ganz geiles für dich. Zu zeigen: Es gibt also neben dem Nullideal nur noch das Einsideal.

  Nun bilden die von Null verschiedenen Elemente aber eine multiplikative Gruppe G  Sagen wir, a liegt in G . Wir werden zeigen: Zu jedem b € G gibt es x € G mit a x = b . Dann sind wir fertig.

   Schau nochmal in deinen Gruppenaxiomen nach. Die alternative Definition einer Gruppe; ihr solltet eben doch bissele besser in der Vorlesung Acht passen:

    1) G ist nicht leer.

    2) G ist assoziativ.

   3) Zu jedem Paar a , b sind die Unbekannten ( 1; 2 ) lösbar:

       a x = b   ( 1 )

       y a = b   ( 2 )

      Bitte beachten, was Axiomne sind. Es wird ( vorerst ) nicht behauptet, dass die Gleichungen ( 1;2 ) eindeutig lösbar seien. Oder dass es eine besondere algebraische Umformung gibt, diese Gleichungen nach x bzw. y umzustellen.

   Es wird nichts weiter behauptet als die Existenz dieser x und y .

Comments

  Es gilt aber auch die Umkehrung. Wenn eine Algebra nur zwei Ideale besitzt, dann ist sie ein Körper.

   diese voraussetzung gibt dir ja nicht mal ein Einselement; du tust also gut daran, in diesem Fall tatsächlich auf meine beiden alternativen Gruppenaxiome zurück zu greifen.