Bestimmen Sie das Weg-Zeit-Gesetz x(t) des Federpendels.

Question

Aufgabe:

Hallo Leute, ich habe diese Aufgabe und bekomme schon die Lösung von meinen Lehrern, aber die kann ich leider nicht öffnen....

Kann jemand mir hilfen?

Text erkannt:

Eine Masse \( m \) sei an einer waagrechten Feder befestigt und bewege sich reibungsfrei entlang einer Schiene:

Für die Auslenkung \( x(t) \) von \( m \) aus der Gleichgewichtslage 0 gilt die Differentialgleichung
\( m \ddot{x}=-k x \quad \) (Federkonstante \( k>0) \)
Zum Zeitpunkt \( t_{0}=0 \) befinde sich \( m \) in \( x(0)=x_{0} \) und habe die Geschwindigkeit \( \dot{x}(0)=v_{0} \)
a) Bestimmen Sie das Weg-Zeit-Gesetz \( x(t) \) des Federpendels.
b) Wie lautet das Weg-Zeit-Gesetz, wenn die Bewegung durch Reibung gedämpft wird,
d.h.wenn \( x \) die Gleichung \( m \ddot{x}=-k x-r \dot{x} \) erfüllt?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Teil (a)

Die characteristische Gleichung lautet $$ \lambda^2 + \omega_0^2 = 0 $$ mit \( \omega_0^2 = \frac{k}{m} \)Damit ergibt sich die Lösung zu

$$ x(t) = A e^{i \omega_0 t} + B e^{-i \omega_0 t} $$ Die Anfangsbedingungen ergeben $$ A+ B = x_0 $$ und $$ A-B = \frac{v_0}{i \omega_0} $$ Die Werte in die Lösung einsetzen und wereinfachen ergibt

$$ x(t) = x_0 \cos(\omega_0 t) + \frac{v_0}{\omega_0} \sin(\omega_0 t)  $$

Teil (b)

Gleiches Vorgehen wie oben. Also charcteristische Gleichung lösen und Lösungen einsetzen ergibt

$$ x(t) = A e^{\lambda_1 t} + B e^{\lambda_2 t} $$ mit $$ \lambda_{1,2} = -\rho \pm \sqrt{ \rho^2-\omega_0^2 } $$ wobe \( \rho = \frac{r}{2m} \) und \( \omega_0^2 = \frac{k}{m} \) gilt. Setzt man noch \( D = \frac{\rho}{\omega_0} \) (Dämpfungsgrad) müssen jetzt die Fälle

$$ (1) \quad D = 0 \text{  Ungedämpfte Schwingung}$$

$$ (2) \quad 0 < D < 1 \text{  Gedämpfte Schwingung} $$

$$ (3) \quad D = 1 \text {  Aperiodischer Grezfall} $$

$$ (4) \quad D > 1 \text{  Starke Dämpfung} $$

unterschieden werden. Teil (a) ist mit Fall (1) identisch.