Binomialkoeffizient Catalan-Zahl Beweis?

Question

Aufgabe:

Wir sollen beweisen, dass Cn= (2n über n) − (2n über (n+1)) für alle positiven Natürlichen Zahlen gilt (mithilfe der Formel für den Binomialkoeffizienten).

Problem/Ansatz:

Hier mein Versuch.. ich habe jedoch irgendwo sicher einen Fehler eingebaut und komme nicht weiter..

Ich möchte ja, dass 1/(n+1) * (2n über n) = (2n über n) − (2n über (n+1)) ist.

(2n über n) ist ja ((2n)!)/(n!*n!) und (2n über (n+1)) ist ((2n)!)/((n+1)!*(n-1)!).. Im folgenden versuche ich, durch Umformung dieses Terms auf 1/(n+1) * (2n über n) zu kommen, also auf 1/(n+1) * ((2n)!)/(n!*n!)

(2n über n) - (2n über (n+1)) = ((2n)!)/(n!*n!) - ((2n)!)/((n+1)!*(n-1)!)
= ((2n)!*(n+1)!*(n-1)!/(n!*n!*(n+1)!*(n-1)!) - ((2n)!*n!*n!)/(n+1)!*(n-1)!*n!*n!)
= ((2n)!*(n+1)!*(n-1)! - (2n)!*(n!)^2)/((n!)^2*(n+1)!*(n-1)!
= ((2n)!*n!*(n+1)*(n-1)! - (2n)!*(n!)^2)/((n!)^2*(n+1)!*(n-1)!
Hier komme ich nicht mehr wirklich weiter.. Habe versucht, das zusammenzufassen in:
((2n)!*n!*((n+1)*(n-1)! - n!)/((n!)^2*(n+1)!*(n-1)!
aber bin mir ziemlich sicher, dass es falsch ist.

Vielen Dank für jegliche Hilfe!

P.S. sorry, habe den Formeleditor gerade erst gegeben...

Answer 1

Benutze $$ \binom{2n}{n+1} = \frac{n}{n+1} \binom{2n}{n}  $$

Comments

Woher weiß ich das denn?

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Musst Du beweisen, ist einfach

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Habe es gerade geschafft :D (hab die Umrechnung da oben jetzt nicht direkt benutzt).. Vielen Dank trotzdem! Ah man jetzt fällt eine Last von meinen Schultern..

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(1) $$ \binom{2n}{n+1} =  \frac{ (2n)! }{ (n+1)! (n-1)! } = \frac{n}{n+1} \binom{2n}{n}  $$

(2) $$ \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n+1} = \binom{2n}{n} \left( 1 - \frac{n}{n+1}  \right) = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} = C_n  $$